Second degré · Révisions Spé

Fonction polynôme du second degré

Définition — Trinôme du second degré

On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction $f$ définie sur $\R$ par

f(x) = ax^2 + bx + c

où $a$ ⁠, $b$ et $c$ sont des nombres réels avec $a \neq 0$ ⁠. L’expression $ax^2 + bx + c$ est appelée trinôme du second degré.

Exemple

$f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ est un trinôme avec $a = 3$ ⁠, $b = -5$ et $c = 1$ ⁠.
$g(x) = -x^2 + 4$ est un trinôme avec $a = -1$ ⁠, $b = 0$ et $c = 4$ ⁠.
$h(x) = (x - 2)(2x + 1)$ est un trinôme : en développant, $h(x) = 2x^2 - 3x - 2$ ⁠.
$k(x) = 4x - 7$ n’est pas un trinôme du second degré, car le coefficient de $x^2$ est nul.

Forme canonique

Propriété — Forme canonique

Tout trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$ ⁠) peut s’écrire sous la forme

f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta

avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$ ⁠. Cette écriture s’appelle la forme canonique de $f(x)$ ⁠.

Démonstration

Comme $a \neq 0$ ⁠, on peut factoriser par $a$  :

f(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right).

On reconnaît le début du carré $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}$ ⁠. Donc

f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right] = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}.

En posant $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$ ⁠, on obtient $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ ⁠. Enfin $f(\alpha) = a \times 0^2 + \beta = \beta$ ⁠.

Méthode — Mettre sous forme canonique

Calculer $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ ⁠.
Calculer $\beta = f(\alpha)$ ⁠.
Écrire $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ ⁠, puis vérifier en développant.

Exemple

Pour $f(x) = 2x^2 - 12x + 13$  : $\alpha = -\dfrac{-12}{2 \times 2} = 3$ et $\beta = f(3) = 18 - 36 + 13 = -5$ ⁠.

Donc $f(x) = 2(x - 3)^2 - 5$ ⁠.

Variations et parabole

Propriété — Sens de variation

Soit $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ ⁠.

Si $a > 0$ ⁠, $f$ est décroissante sur $\interof{-\infty}{\alpha}$ puis croissante sur $\interfo{\alpha}{+\infty}$  : elle admet un minimum égal à $\beta$ ⁠, atteint en $x = \alpha$ ⁠.
Si $a < 0$ ⁠, $f$ est croissante sur $\interof{-\infty}{\alpha}$ puis décroissante sur $\interfo{\alpha}{+\infty}$  : elle admet un maximum égal à $\beta$ ⁠, atteint en $x = \alpha$ ⁠.

Cas $a > 0$  :

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & \alpha & & +\infty \\ \hline & & & & & \\ f & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & \beta & & \\ \hline \end{array}

Cas $a < 0$  :

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & \alpha & & +\infty \\ \hline & & & \beta & & \\ f & & \nearrow & & \searrow & \\ & & & & & \\ \hline \end{array}

Propriété — Parabole

Dans un repère, la courbe d’une fonction polynôme du second degré est une parabole :

de sommet $S(\alpha\,;\,\beta)$  ;
d’axe de symétrie la droite d’équation $x = \alpha$  ;
tournée vers le haut si $a > 0$ ⁠, vers le bas si $a < 0$ ⁠.

Équation du second degré

Définition — Discriminant

Le discriminant du trinôme $ax^2 + bx + c$ est le nombre

\Delta = b^2 - 4ac.

Théorème — Solutions de l’équation du second degré

Si $\Delta > 0$ ⁠, l’équation admet deux solutions distinctes : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad\text{et}\qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.$
Si $\Delta = 0$ ⁠, l’équation admet une seule solution : $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ ⁠.
Si $\Delta < 0$ ⁠, l’équation n’admet aucune solution réelle.

Les solutions de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ sont aussi appelées racines du trinôme.

Démonstration

D’après la démonstration de la forme canonique, avec $\beta = -\frac{\Delta}{4a}$  :

ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right].

Comme $a \neq 0$ ⁠, l’équation équivaut à $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}$ ⁠.

Si $\Delta < 0$ ⁠, le membre de droite est strictement négatif alors qu’un carré est positif : aucune solution.
Si $\Delta = 0$ ⁠, on obtient $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = 0$ ⁠, donc $x = -\frac{b}{2a}$ ⁠.
Si $\Delta > 0$ ⁠, on obtient $x + \frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ ou $x + \frac{b}{2a} = -\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ ⁠, ce qui donne les deux solutions $x_1$ et $x_2$ ⁠.

Exemple

Résolvons $2x^2 - x - 6 = 0$ ⁠. Ici $a = 2$ ⁠, $b = -1$ ⁠, $c = -6$ ⁠.

$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 1 + 48 = 49 > 0$ et $\sqrt{49} = 7$ ⁠. Il y a deux solutions :

x_1 = \frac{1 - 7}{4} = -\frac{3}{2} \qquad\text{et}\qquad x_2 = \frac{1 + 7}{4} = 2.

L’ensemble des solutions est $S = \left\{-\dfrac{3}{2}\,;\,2\right\}$ ⁠.

Attention

Avant de calculer $\Delta$ ⁠, l’équation doit être sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$  : tout passer dans le même membre. Et lorsque $b = 0$ ou $c = 0$ ⁠, il est souvent plus rapide de factoriser directement (par exemple $3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ ⁠).

Factorisation, somme et produit des racines

Propriété — Forme factorisée

Si $\Delta > 0$  : $\;ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ ⁠.
Si $\Delta = 0$  : $\;ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$ ⁠.
Si $\Delta < 0$  : le trinôme ne peut pas s’écrire comme un produit de facteurs du premier degré.

Propriété — Somme et produit des racines

Si $\Delta \geq 0$ ⁠, les racines $x_1$ et $x_2$ (éventuellement égales) vérifient

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad\text{et}\qquad x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}.

Méthode — Utiliser une racine évidente

Si l’on repère une racine « évidente » $x_1$ (souvent $1$ ⁠, $-1$ ⁠, $2$ ⁠…), on trouve l’autre sans calculer $\Delta$ grâce au produit : $x_2 = \dfrac{c}{a \, x_1}$ ⁠.

Par exemple, $1$ est racine de $3x^2 + 2x - 5$ car $3 + 2 - 5 = 0$ ⁠. Le produit des racines vaut $-\dfrac{5}{3}$ ⁠, donc l’autre racine est $x_2 = -\dfrac{5}{3}$ ⁠.

Signe d’un trinôme

Théorème — Signe d’un trinôme

Un trinôme du second degré est du signe de $a$ , sauf entre ses racines lorsqu’il en a deux.

Si $\Delta > 0$ (racines $x_1 < x_2$ ⁠) :

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & x_1 & & x_2 & & +\infty \\ \hline ax^2 + bx + c & & \text{signe de } a & 0 & \text{signe de } -a & 0 & \text{signe de } a & \\ \hline \end{array}

Si $\Delta = 0$  :

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & x_0 & & +\infty \\ \hline ax^2 + bx + c & & \text{signe de } a & 0 & \text{signe de } a & \\ \hline \end{array}

Si $\Delta < 0$  :

\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline ax^2 + bx + c & & \text{signe de } a & \\ \hline \end{array}

Méthode — Résoudre une inéquation du second degré

Tout passer dans un membre pour se ramener à $ax^2 + bx + c > 0$ (ou $<$ ⁠, $\geq$ ⁠, $\leq$ ⁠).
Calculer $\Delta$ et les éventuelles racines.
Dresser le tableau de signes du trinôme.
Lire l’ensemble des solutions, en faisant attention aux crochets (racines incluses ou non).

Exemple

Résolvons $x^2 - x - 6 < 0$ ⁠. On a $\Delta = 1 + 24 = 25$ ⁠, d’où les racines $x_1 = \dfrac{1 - 5}{2} = -2$ et $x_2 = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$ ⁠.

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -2 & & 3 & & +\infty \\ \hline x^2 - x - 6 & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}

Comme $a = 1 > 0$ ⁠, le trinôme est négatif entre les racines : $S = \interoo{-2}{3}$ ⁠.