Dérivation · Révisions Spé

Taux de variation

Définition — Taux de variation

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ ⁠, $a$ un réel de $I$ et $h$ un réel non nul tel que $a + h \in I$ ⁠. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ est

\frac{f(a + h) - f(a)}{h}.

Remarque

Graphiquement, c’est le coefficient directeur de la sécante passant par les points $A(a\,;\,f(a))$ et $M(a + h\,;\,f(a + h))$ de la courbe de $f$ ⁠.

Nombre dérivé

Définition — Nombre dérivé

On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux de variation $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ tend vers un nombre réel $\ell$ quand $h$ tend vers $0$ ⁠. Ce nombre est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ et noté $f'(a)$  :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}.

Exemple

Soit $f(x) = x^2$ et $a = 3$ ⁠. Pour $h \neq 0$  :

\frac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{h(6 + h)}{h} = 6 + h.

Quand $h$ tend vers $0$ ⁠, $6 + h$ tend vers $6$ ⁠. Donc $f$ est dérivable en $3$ et $f'(3) = 6$ ⁠.

Tangente à une courbe

Définition — Tangente

Si $f$ est dérivable en $a$ ⁠, la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(a\,;\,f(a))$ est la droite qui passe par $A$ et dont le coefficient directeur est $f'(a)$ ⁠.

Propriété — Équation de la tangente

La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $a$ a pour équation

y = f'(a)(x - a) + f(a).

Méthode — Écrire l’équation d’une tangente

Calculer $f(a)$ ⁠.
Calculer $f'(x)$ ⁠, puis $f'(a)$ ⁠.
Remplacer dans $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ ⁠, puis simplifier sous la forme $y = mx + p$ ⁠.

Exemple

Pour $f(x) = x^2$ en $a = 3$  : $f(3) = 9$ et $f'(3) = 6$ ⁠. La tangente a pour équation $y = 6(x - 3) + 9$ ⁠, soit $y = 6x - 9$ ⁠.

Fonction dérivée et dérivées usuelles

Définition — Fonction dérivée

Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout réel $x$ de $I$ ⁠. La fonction qui à tout $x$ de $I$ associe $f'(x)$ est la fonction dérivée de $f$ ⁠, notée $f'$ ⁠.

Fonction $f$	Dérivée $f'$	$f$ est dérivable sur
$f(x) = k$ (constante)	$f'(x) = 0$	$\R$
$f(x) = x$	$f'(x) = 1$	$\R$
$f(x) = x^2$	$f'(x) = 2x$	$\R$
$f(x) = x^3$	$f'(x) = 3x^2$	$\R$
$f(x) = x^n$ ( $n \geq 1$ entier)	$f'(x) = nx^{n-1}$	$\R$
$f(x) = \dfrac{1}{x}$	$f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$	$\interoo{-\infty}{0}$ et $\interoo{0}{+\infty}$
$f(x) = \sqrt{x}$	$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$\interoo{0}{+\infty}$

Démonstration — dérivée de la fonction inverse

Soit $a \neq 0$ et $h \neq 0$ tel que $a + h$ soit non nul et du même signe que $a$ ⁠.

\frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h} = \frac{a - (a + h)}{h\,a(a + h)} = \frac{-h}{h\,a(a + h)} = -\frac{1}{a(a + h)}.

Quand $h$ tend vers $0$ ⁠, cette quantité tend vers $-\dfrac{1}{a^2}$ ⁠. Donc $f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}$ ⁠.

Attention — la racine carrée en 0

La fonction racine carrée est définie sur $\interfo{0}{+\infty}$ mais n’est pas dérivable en $0$ . En effet, pour $h > 0$  :

\frac{\sqrt{0 + h} - \sqrt{0}}{h} = \frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}},

qui devient aussi grand que l’on veut quand $h$ tend vers $0$  : il n’y a pas de limite finie. La courbe admet une tangente verticale à l’origine.

Opérations sur les dérivées

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un réel.

Fonction	Dérivée	Condition
$u + v$	$u' + v'$
$ku$	$ku'$
$uv$	$u'v + uv'$
$\dfrac{1}{v}$	$-\dfrac{v'}{v^2}$	$v$ ne s’annule pas sur $I$
$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$	$v$ ne s’annule pas sur $I$
$x \mapsto g(ax + b)$	$x \mapsto a\,g'(ax + b)$	$g$ dérivable en $ax + b$

Méthode — Dériver un quotient

Pour $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ sur $\interoo{3}{+\infty}$  : on pose $u(x) = 2x + 1$ et $v(x) = x - 3$ ⁠, donc $u'(x) = 2$ et $v'(x) = 1$ ⁠.

f'(x) = \frac{2(x - 3) - (2x + 1) \times 1}{(x - 3)^2} = \frac{-7}{(x - 3)^2}.

Exemple — produit et fonction composée

$f(x) = x^2\sqrt{x}$ sur $\interoo{0}{+\infty}$  : $f'(x) = 2x\sqrt{x} + x^2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = 2x\sqrt{x} + \dfrac{x\sqrt{x}}{2} = \dfrac{5}{2}x\sqrt{x}$ ⁠.
$g(x) = (3x - 1)^4$  : avec $a = 3$ ⁠, $g'(x) = 3 \times 4(3x - 1)^3 = 12(3x - 1)^3$ ⁠.
$h(x) = \sqrt{2x + 1}$ sur $\interoo{-\frac{1}{2}}{+\infty}$  : $h'(x) = 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{2x + 1}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 1}}$ ⁠.

Attention

La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées : $(uv)' \neq u'v'$ ⁠. Et dans la dérivée d’un quotient, le dénominateur est au carré.

Dérivée et sens de variation

Théorème — Signe de la dérivée et variations

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ ⁠.

Si $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$ ⁠, alors $f$ est croissante sur $I$ ⁠.
Si $f'(x) \leq 0$ pour tout $x \in I$ ⁠, alors $f$ est décroissante sur $I$ ⁠.
Si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$ ⁠, alors $f$ est constante sur $I$ ⁠.

Si de plus $f'$ ne s’annule qu’en des points isolés, la monotonie est stricte.

Propriété — Extremum local

Si $f'$ s’annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $a$  : un maximum si $f'$ passe de $+$ à $-$ ⁠, un minimum si $f'$ passe de $-$ à $+$ ⁠.

Méthode — Étudier les variations d’une fonction

Préciser l’ensemble de définition et justifier la dérivabilité.
Calculer $f'(x)$ et l’écrire sous une forme dont on sait étudier le signe (souvent un trinôme du second degré ou un produit).
Dresser le tableau de signes de $f'(x)$ ⁠, puis le tableau de variations de $f$ ⁠.
Calculer les extremums aux valeurs où $f'$ s’annule en changeant de signe.

Exemple

Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$ sur $\R$ ⁠. On a $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3)$ ⁠.

Le trinôme $x^2 - 2x - 3$ a pour discriminant $\Delta = 4 + 12 = 16$ et pour racines $-1$ et $3$ ⁠. Il est positif à l’extérieur des racines. Avec $f(-1) = 7$ et $f(3) = -25$  :

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 3 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline & & & 7 & & & & \\ f & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & & & -25 & & \\ \hline \end{array}

$f$ admet un maximum local égal à $7$ en $x = -1$ et un minimum local égal à $-25$ en $x = 3$ ⁠.