Suites numériques · Révisions Spé

Généralités

Définition — Suite numérique

Une suite numérique associe à chaque entier naturel $n$ un réel noté $u_n$ ⁠, appelé terme de rang $n$ . La suite entière se note $(u_n)$ ⁠.

Définition — Deux façons de définir une suite

Par une formule explicite : $u_n = f(n)$ ⁠. On calcule directement n’importe quel terme.
Par récurrence : on donne le premier terme $u_0$ et une relation $u_{n+1} = f(u_n)$ qui permet de passer d’un terme au suivant.

Exemple

Avec $u_n = 2n^2 - 1$  : $u_0 = -1$ et $u_3 = 2 \times 9 - 1 = 17$ ⁠.

Avec $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$  : $u_1 = 2 \times 3 - 1 = 5$ ⁠, puis $u_2 = 2 \times 5 - 1 = 9$ ⁠.

Attention

$u_{n+1}$ est le terme qui suit $u_n$  : ce n’est pas $u_n + 1$ ⁠.
$u_n$ désigne un nombre (un terme) et $(u_n)$ désigne la suite entière.
Avec une définition par récurrence, pour obtenir $u_{10}$ il faut calculer les termes un par un.

Sens de variation

Définition

Soit $(u_n)$ une suite.

$(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n \in \N$ ⁠.
$(u_n)$ est décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n \in \N$ ⁠.
$(u_n)$ est constante si $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n \in \N$ ⁠.

Avec des inégalités strictes, on parle de suite strictement croissante ou décroissante. Une suite croissante ou décroissante est dite monotone.

Méthode — Étudier le sens de variation

Exprimer $u_{n+1}$ puis calculer $u_{n+1} - u_n$ et le simplifier.
Étudier le signe de cette différence pour tout $n \in \N$ ⁠.
Conclure : différence positive, suite croissante ; différence négative, suite décroissante.

Exemple

Soit $u_n = n^2 + n$ ⁠. Pour tout $n \in \N$  :

u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 + (n+1) - n^2 - n = 2n + 2 > 0.

La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Propriété — Lien avec les fonctions

Si $u_n = f(n)$ et si $f$ est croissante (respectivement décroissante) sur $\interfo{0}{+\infty}$ ⁠, alors $(u_n)$ est croissante (respectivement décroissante).

Attention

Cette propriété ne vaut que pour une suite définie par une formule explicite, pas pour une relation de récurrence.
La réciproque est fausse : une suite peut être croissante sans que la fonction $f$ le soit sur tout $\interfo{0}{+\infty}$ ⁠.
Une suite n’est pas toujours monotone. Pour $u_n = n^2 - 6n$ ⁠, on a $u_0 = 0$ ⁠, $u_1 = -5$ ⁠, $u_2 = -8$ ⁠, $u_3 = -9$ puis $u_4 = -8$  : elle décroît d’abord, puis croît à partir d’un certain rang.

Suites arithmétiques

Définition — Suite arithmétique

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s’il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n \in \N$ ⁠,

u_{n+1} = u_n + r.

Le nombre $r$ s’appelle la raison de la suite.

Méthode — Montrer qu’une suite est arithmétique

Calculer $u_{n+1} - u_n$ en fonction de $n$ ⁠.
Montrer que le résultat est une constante $r$ (il ne dépend pas de $n$ ⁠).
Conclure : la suite est arithmétique de raison $r$ ⁠.

Exemple

Soit $u_n = 3n - 2$ ⁠. Pour tout $n \in \N$  :

u_{n+1} - u_n = 3(n + 1) - 2 - (3n - 2) = 3.

La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $3$ et de premier terme $u_0 = -2$ ⁠.

Attention

Calculer seulement les premiers termes ne suffit pas à prouver qu’une suite est arithmétique. En revanche, cela suffit pour prouver qu’elle ne l’est pas : pour $u_n = n^2$ ⁠, on a $u_1 - u_0 = 1$ mais $u_2 - u_1 = 3$ ⁠.

Propriété — Terme général

Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ ⁠, alors pour tous entiers naturels $n$ et $p$  :

u_n = u_0 + nr \qquad\text{et}\qquad u_n = u_p + (n - p)r.

Exemple

Si $u_0 = 1{,}5$ et $r = 0{,}5$ ⁠, alors $u_{10} = 1{,}5 + 10 \times 0{,}5 = 6{,}5$ ⁠.

Propriété — Sens de variation

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ ⁠.

Si $r > 0$ ⁠, la suite est strictement croissante.
Si $r < 0$ ⁠, la suite est strictement décroissante.
Si $r = 0$ ⁠, la suite est constante.

Remarque

Les points de coordonnées $(n\,;\,u_n)$ sont alignés sur la droite d’équation $y = rx + u_0$ ⁠.

Suites géométriques

Définition — Suite géométrique

Une suite $(u_n)$ est géométrique s’il existe un réel $q$ tel que, pour tout $n \in \N$ ⁠,

u_{n+1} = q \times u_n.

Le nombre $q$ s’appelle la raison de la suite.

Méthode — Montrer qu’une suite est géométrique

Si $u_n$ ne s’annule jamais, calculer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ ⁠, ou directement exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ ⁠.
Montrer que le résultat est une constante $q$ (il ne dépend pas de $n$ ⁠).
Conclure : la suite est géométrique de raison $q$ ⁠.

Exemple

Soit $u_n = 3 \times 2^n$ ⁠. Pour tout $n \in \N$  :

\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3 \times 2^{n+1}}{3 \times 2^n} = 2.

La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $u_0 = 3$ ⁠.

Propriété — Terme général

Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ ⁠, alors pour tous entiers naturels $n$ et $p$  :

u_n = u_0 \times q^n \qquad\text{et}\qquad u_n = u_p \times q^{n-p}.

Exemple

Si $u_0 = 2$ et $q = 3$ ⁠, alors $u_4 = 2 \times 3^4 = 162$ ⁠.

Propriété — Sens de variation

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ ⁠.

Raison	$u_0 > 0$	$u_0 < 0$
$q > 1$	croissante	décroissante
$0 < q < 1$	décroissante	croissante
$q = 1$	constante	constante
$q < 0$	non monotone	non monotone

Remarque

Pour $q < 0$ ⁠, les termes changent de signe à chaque étape. Par exemple, avec $u_0 = 2$ et $q = -3$ on obtient $2$ ⁠, $-6$ ⁠, $18$ ⁠, $-54$ ⁠, ...

Sommes de termes

Théorème — Somme des premiers entiers

Pour tout entier $n \geq 1$  :

1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}.

Démonstration

On note $S = 1 + 2 + \cdots + n$ et on écrit la somme dans les deux sens :

\begin{aligned} S &= 1 + 2 + \cdots + n \\ S &= n + (n - 1) + \cdots + 1 \end{aligned}

En additionnant terme à terme, on obtient $n$ fois la valeur $n + 1$  : $2S = n(n + 1)$ ⁠, d’où $S = \dfrac{n(n + 1)}{2}$ ⁠.

Propriété — Somme de termes d’une suite arithmétique

Si $(u_n)$ est arithmétique, alors

u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n + 1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}.

De façon générale : la somme de termes consécutifs vaut (nombre de termes) $\times \dfrac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$ ⁠.

Exemple

Pour $u_n = 3n + 1$  : $u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}$ comporte $11$ termes, avec $u_0 = 1$ et $u_{10} = 31$ ⁠, donc la somme vaut $11 \times \dfrac{1 + 31}{2} = 176$ ⁠.

Théorème — Somme de termes d’une suite géométrique

Pour tout réel $q \neq 1$ et tout entier $n \geq 0$  :

1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.

Pour une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q \neq 1$  :

u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.

Démonstration

On note $S = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n$ ⁠. En multipliant par $q$  :

\begin{aligned} S &= 1 + q + q^2 + \cdots + q^n \\ qS &= q + q^2 + \cdots + q^n + q^{n+1} \end{aligned}

En soustrayant, tous les termes se simplifient sauf le premier et le dernier : $S - qS = 1 - q^{n+1}$ ⁠, donc $S(1 - q) = 1 - q^{n+1}$ ⁠. Comme $q \neq 1$ ⁠, on divise par $1 - q$ ⁠.

Exemple

$1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{10} = \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2047$ ⁠.

Attention

De $u_0$ à $u_n$ ⁠, il y a $n + 1$ termes (pas $n$ ⁠). Pour une somme qui commence à $u_p$ avec $p \geq 1$ ⁠, le nombre de termes de $u_p$ à $u_n$ est $n - p + 1$ ⁠.

Seuil et algorithme

Méthode — Chercher un seuil avec une boucle

Pour trouver le plus petit rang $n$ tel que $u_n$ dépasse une valeur donnée, on calcule les termes un par un tant que la condition n’est pas atteinte.

Exemple

Pour $u_n = 3 \times 2^n$ ⁠, on cherche le plus petit $n$ tel que $u_n > 500$ ⁠.

n = 0
u = 3
while u <= 500:
    n = n + 1
    u = 2 * u
print(n)

Le programme affiche $8$  : on a $u_7 = 384 \leq 500$ et $u_8 = 768 > 500$ ⁠.

Remarque

La condition de la boucle while est la négation de ce qu’on cherche : on continue tant que $u_n \leq 500$ ⁠, et on s’arrête dès que $u_n > 500$ ⁠.