Suites numériques — Fiche de révision

À savoir par cœur

Notion	Suite arithmétique (raison $r$ ⁠)	Suite géométrique (raison $q$ ⁠)
Définition	$u_{n+1} = u_n + r$	$u_{n+1} = q \times u_n$
Test	$u_{n+1} - u_n$ constant	$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ constant
Terme général	$u_n = u_0 + nr$	$u_n = u_0 \times q^n$
Entre deux termes	$u_n = u_p + (n - p)r$	$u_n = u_p \times q^{n-p}$
Somme $u_0 + \cdots + u_n$	$(n + 1) \times \dfrac{u_0 + u_n}{2}$	$u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ pour $q \neq 1$

Sommes à connaître

Somme	Valeur
$1 + 2 + \cdots + n$	$\dfrac{n(n + 1)}{2}$
$1 + q + \cdots + q^n$ avec $q \neq 1$	$\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

Sens de variation

Suite	Condition	Variation
Arithmétique	$r > 0$	croissante
Arithmétique	$r < 0$	décroissante
Géométrique, $u_0 > 0$	$q > 1$	croissante
Géométrique, $u_0 > 0$	$0 < q < 1$	décroissante
Géométrique	$q < 0$	non monotone

Si $u_0 < 0$ ⁠, les variations d’une suite géométrique sont inversées.

Méthodes express

Méthode — Étudier le sens de variation d’une suite quelconque

Calculer $u_{n+1} - u_n$ et étudier son signe pour tout $n \in \N$ ⁠. Si c’est un trinôme en $n$ ⁠, on utilise $\Delta$ et un tableau de signes.

Méthode — Prouver qu’une suite est arithmétique ou géométrique

Arithmétique : calculer $u_{n+1} - u_n$ ⁠. Géométrique : calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ ou écrire $u_{n+1} = q\,u_n$ ⁠. Dans les deux cas, le résultat ne doit pas dépendre de $n$ ⁠.

Méthode — Trouver la raison avec deux termes

Arithmétique : $r = \dfrac{u_n - u_p}{n - p}$ ⁠. Géométrique : $q^{n-p} = \dfrac{u_n}{u_p}$ ⁠. Exemple : $u_2 = 7$ et $u_6 = 19$ donnent $r = \dfrac{19 - 7}{6 - 2} = 3$ ⁠.

Méthode — Suite auxiliaire

Quand $u_{n+1} = a\,u_n + b$ ⁠, on cherche un réel $c$ pour que $v_n = u_n + c$ soit géométrique de raison $a$ ⁠. Il reste à écrire $u_n = v_n - c$ ⁠.

Méthode — Chercher un seuil

Résoudre l’inéquation $u_n > S$ (avec une puissance, on teste des valeurs de $n$ ⁠) ou utiliser une boucle while u <= S.

Pièges classiques

Attention

Si la suite commence à $u_1$ ⁠, le terme général s’écrit $u_n = u_1 + (n - 1)r$ (ou $u_1 \times q^{n-1}$ ⁠).
Trois premiers termes en progression ne prouvent pas qu’une suite est arithmétique ou géométrique : il faut un calcul pour tout $n$ ⁠.
De $u_0$ à $u_n$ ⁠, il y a $n + 1$ termes, pas $n$ ⁠.
$u_{n+1}$ n’est pas $u_n + 1$ ⁠.
Une suite géométrique de raison $q < 0$ n’est jamais monotone.
La formule $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ n’est valable que pour $q \neq 1$ ⁠.
Le critère $u_n = f(n)$ avec $f$ croissante ne marche pas pour une suite définie par récurrence.