Suites numériques — Exos type contrôle

Exercice 1 — Un plan d’épargne

Moyen Durée estimée : 30 min Chapitres mobilisés : Suites numériques + Second degré

Une personne ouvre un plan d’épargne. Le mois $0$ ⁠, elle verse $100$ euros, puis chaque mois elle verse $20$ euros de plus que le mois précédent. On note $u_n$ la somme versée le mois $n$ et $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$ la somme totale versée au bout du mois $n$ (en euros).

Montrer que $(u_n)$ est une suite arithmétique et donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$ ⁠.
Calculer $u_{10}$ puis $S_{10}$ ⁠.
Montrer que $S_n = 10n^2 + 110n + 100$ ⁠.
Déterminer à partir de quelle valeur de $n$ on a $S_n \geq 1360$ ⁠.
Montrer que la suite $(S_n)$ est croissante.

Indice 1 · piste générale

«  $20$ euros de plus » signifie qu’on ajoute toujours le même nombre. La question 3 utilise la formule de la somme d’une suite arithmétique, la question 4 se ramène à une inéquation du second degré.
Indice 2

$S_n = (n+1) \times \dfrac{u_0 + u_n}{2}$ ⁠. Pour la question 4, développe et regroupe pour obtenir $n^2 + 11n - 126 \geq 0$ ⁠, puis calcule $\Delta$ ( $\Delta = 625$ ⁠).
Indice 3 · plus précis

Pour la question 5, calcule $S_{n+1} - S_n$  : que vaut cette différence ?

Voir la correction Masquer la correction

1. Pour tout $n \in \N$ ⁠, $u_{n+1} = u_n + 20$  : la suite est arithmétique de raison $20$ et de premier terme $u_0 = 100$ ⁠. Donc $u_n = 100 + 20n$ ⁠.

2. $u_{10} = 100 + 200 = 300$ et

S_{10} = 11 \times \frac{100 + 300}{2} = 11 \times 200 = 2200.

3. Il y a $n + 1$ termes de $u_0$ à $u_n$  :

S_n = (n+1) \times \frac{100 + 100 + 20n}{2} = (n+1)(100 + 10n) = 10n^2 + 110n + 100.

4. $S_n \geq 1360$ équivaut à $10n^2 + 110n - 1260 \geq 0$ ⁠, soit $n^2 + 11n - 126 \geq 0$ ⁠.

$\Delta = 121 + 504 = 625$ et $\sqrt{\Delta} = 25$ ⁠. Les racines sont $\dfrac{-11 - 25}{2} = -18$ et $\dfrac{-11 + 25}{2} = 7$ ⁠.

Le coefficient de $n^2$ est positif : le trinôme est positif ou nul pour $n \leq -18$ ou $n \geq 7$ ⁠. Comme $n \in \N$ ⁠, on a $S_n \geq 1360$ si et seulement si $n \geq 7$ ⁠.

Vérification : $S_7 = 490 + 770 + 100 = 1360$ ⁠.

5. $S_{n+1} - S_n = u_{n+1} = 100 + 20(n+1) > 0$ ⁠, donc $(S_n)$ est strictement croissante.

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Exercice 2 — Décote d’un véhicule

Moyen Durée estimée : 25 min Chapitres mobilisés : Suites numériques + Pourcentages (Seconde)

Un véhicule neuf coûte $10\,000$ euros. Chaque année, sa valeur diminue de $20\,\%$ ⁠. On note $v_n$ sa valeur (en euros) au bout de $n$ années, avec $v_0 = 10\,000$ ⁠.

Justifier que $v_{n+1} = 0{,}8\,v_n$ ⁠. Quelle est la nature de la suite $(v_n)$  ?
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ ⁠, puis calculer $v_2$ et $v_3$ ⁠.
Étudier le sens de variation de $(v_n)$ ⁠.
On souhaite déterminer la première année où la valeur du véhicule passe sous $4000$ euros. Compléter le programme suivant puis donner la valeur affichée.

n = 0
v = 10000
while ...:
    v = ...
    n = n + 1
print(n)

Calculer la somme $v_0 + v_1 + v_2 + v_3 + v_4$ ⁠.

Indice 1 · piste générale

Diminuer de $20\,\%$ revient à multiplier par $1 - \dfrac{20}{100}$ ⁠.
Indice 2

$v_n = v_0 \times q^n$ avec $q = 0{,}8$ ⁠. Pour la question 4, la boucle continue tant que $v \geq 4000$ ⁠.
Indice 3 · plus précis

Pour la question 5, utilise la formule de la somme d’une suite géométrique avec $5$ termes : $v_0 \times \dfrac{1 - q^5}{1 - q}$ ⁠.

Voir la correction Masquer la correction

1. Une baisse de $20\,\%$ revient à multiplier par $1 - 0{,}2 = 0{,}8$ ⁠, donc $v_{n+1} = 0{,}8\,v_n$  : la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$ et de premier terme $10\,000$ ⁠.

2. $v_n = 10\,000 \times 0{,}8^n$ ⁠. Alors $v_2 = 10\,000 \times 0{,}64 = 6400$ et $v_3 = 10\,000 \times 0{,}512 = 5120$ ⁠.

3. $v_0 > 0$ et $0 < q < 1$  : la suite $(v_n)$ est strictement décroissante.

4.

n = 0
v = 10000
while v >= 4000:
    v = 0.8 * v
    n = n + 1
print(n)

On a $v_4 = 4096 \geq 4000$ et $v_5 = 3276{,}8 < 4000$  : le programme affiche $5$ ⁠.

5. C’est une somme de $5$ termes d’une suite géométrique de raison $0{,}8$  :

v_0 + \cdots + v_4 = 10\,000 \times \frac{1 - 0{,}8^5}{1 - 0{,}8} = 50\,000 \times (1 - 0{,}32768) = 33\,616.

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Exercice 3 — Suite auxiliaire géométrique

Difficile Durée estimée : 35 min Chapitres mobilisés : Suites numériques + Puissances (Seconde)

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n \in \N$ ⁠, $u_{n+1} = 2u_n + 3$ ⁠. On pose $v_n = u_n + 3$ ⁠.

Calculer $u_1$ et $u_2$ ⁠.
Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
En déduire que $u_n = 2^{n+2} - 3$ pour tout $n \in \N$ ⁠.
Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante.
Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n > 1000$ ⁠.
Montrer que $u_0 + u_1 + \cdots + u_n = 2^{n+3} - 3n - 7$ ⁠.

Indice 1 · piste générale

Pour montrer qu’une suite est géométrique, exprime $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ ⁠.
Indice 2

$v_{n+1} = u_{n+1} + 3 = 2u_n + 6 = 2(u_n + 3)$ ⁠. Pour la question 5, les puissances de $2$ utiles sont $2^9 = 512$ et $2^{10} = 1024$ ⁠.
Indice 3 · plus précis

Pour la question 6, sépare la somme : $\sum u_k = \sum v_k - 3(n+1)$ ⁠, puis utilise la somme d’une suite géométrique de raison $2$ ⁠.

Voir la correction Masquer la correction

1. $u_1 = 2 \times 1 + 3 = 5$ et $u_2 = 2 \times 5 + 3 = 13$ ⁠.

2. Pour tout $n \in \N$  :

v_{n+1} = u_{n+1} + 3 = 2u_n + 6 = 2(u_n + 3) = 2v_n.

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0 = u_0 + 3 = 4$ ⁠.

3. $v_n = 4 \times 2^n = 2^{n+2}$ ⁠, donc $u_n = v_n - 3 = 2^{n+2} - 3$ ⁠.

4. Pour tout $n \in \N$  :

u_{n+1} - u_n = 2^{n+3} - 2^{n+2} = 2^{n+2}(2 - 1) = 2^{n+2} > 0.

La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

5. $u_n > 1000$ équivaut à $2^{n+2} > 1003$ ⁠. Comme $2^9 = 512 < 1003 < 1024 = 2^{10}$ ⁠, il faut $n + 2 \geq 10$ ⁠, soit $n \geq 8$ ⁠. Le plus petit entier est $n = 8$ (avec $u_7 = 509$ et $u_8 = 1021$ ⁠).

6. Notons $S_n = u_0 + \cdots + u_n$ ⁠. Comme $u_k = v_k - 3$  :

S_n = (v_0 + \cdots + v_n) - 3(n+1) = 4 \times \frac{1 - 2^{n+1}}{1 - 2} - 3(n+1) = 4(2^{n+1} - 1) - 3n - 3.

Donc $S_n = 2^{n+3} - 4 - 3n - 3 = 2^{n+3} - 3n - 7$ ⁠.

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Exercice 4 — Une suite définie par un trinôme

Difficile Durée estimée : 35 min Chapitres mobilisés : Suites numériques + Second degré + Dérivation

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \in \N$ par $u_n = n^2 - 8n + 10$ ⁠. On note $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 - 8x + 10$ ⁠.

Calculer $u_0$ ⁠, $u_1$ ⁠, $u_2$ et $u_3$ ⁠.
Montrer que $u_{n+1} - u_n = 2n - 7$ pour tout $n \in \N$ ⁠.
En déduire les variations de $(u_n)$ ⁠. La suite est-elle monotone ?
Calculer $f'(x)$ puis retrouver, avec la fonction $f$ ⁠, la valeur minimale de la suite.
Existe-t-il un entier $n$ tel que $u_n = 0$  ?
Déterminer les entiers $n$ tels que $u_n < 0$ ⁠.
Déterminer les entiers $n$ tels que $u_n \geq 10$ ⁠.

Indice 1 · piste générale

$u_n = f(n)$ ⁠, donc on peut étudier la suite avec le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ et la fonction avec son sommet.
Indice 2

Pour la question 5, résous $n^2 - 8n + 10 = 0$ avec $\Delta$ et regarde si les racines sont des entiers. Pour la question 7, $u_n \geq 10$ équivaut à $n^2 - 8n \geq 0$ ⁠.
Indice 3 · plus précis

Pour la question 6, le trinôme est négatif entre les racines $4 - \sqrt{6}$ et $4 + \sqrt{6}$ ⁠. Encadre $\sqrt{6}$ entre $2$ et $3$ pour trouver les entiers concernés.

Voir la correction Masquer la correction

1. $u_0 = 10$ ⁠, $u_1 = 3$ ⁠, $u_2 = -2$ ⁠, $u_3 = -5$ ⁠.

2. Pour tout $n \in \N$  :

u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 8(n+1) + 10 - n^2 + 8n - 10 = 2n - 7.

3. $2n - 7 < 0$ pour $n \leq 3$ et $2n - 7 > 0$ pour $n \geq 4$ ⁠. La suite est donc strictement décroissante de $u_0$ à $u_4$ puis strictement croissante à partir du rang $4$ ⁠. Elle n’est pas monotone.

4. $f'(x) = 2x - 8$ ⁠, qui s’annule en $x = 4$ en changeant de signe : $f$ admet un minimum en $4$ ⁠, égal à $f(4) = 16 - 32 + 10 = -6$ ⁠. La fonction $f$ est minimale en $4$ qui est un entier, donc la valeur minimale de la suite est $u_4 = -6$ (on retrouve le sommet $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = 4$ ⁠).

5. $\Delta = 64 - 40 = 24$ ⁠, $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ ⁠, et les racines sont

4 - \sqrt{6} \qquad\text{et}\qquad 4 + \sqrt{6}.

Comme $2 < \sqrt{6} < 3$ ⁠, on a $1 < 4 - \sqrt{6} < 2$ et $6 < 4 + \sqrt{6} < 7$  : aucune racine n’est entière. Il n’existe donc aucun entier $n$ tel que $u_n = 0$ ⁠.

6. Le coefficient de $n^2$ est positif : le trinôme est négatif entre les racines. Les entiers $n$ tels que $4 - \sqrt{6} < n < 4 + \sqrt{6}$ sont $2$ ⁠, $3$ ⁠, $4$ ⁠, $5$ et $6$ ⁠. On a bien $u_2 = -2$ et $u_6 = -2$ alors que $u_1 = 3$ et $u_7 = 3$ ⁠.

7. $u_n \geq 10$ équivaut à $n^2 - 8n \geq 0$ ⁠, soit $n(n - 8) \geq 0$ ⁠. Les racines sont $0$ et $8$ et le trinôme est positif à l’extérieur : $n \leq 0$ ou $n \geq 8$ ⁠. Comme $n \in \N$ ⁠, on a $u_n \geq 10$ pour $n = 0$ ou pour $n \geq 8$ ⁠.

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Exercice 5 — Trois nombres en progression

Difficile Durée estimée : 30 min Chapitres mobilisés : Suites numériques + Second degré

Trois nombres $x_1$ ⁠, $x_2$ ⁠, $x_3$ sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de somme $21$ ⁠. Si on leur ajoute respectivement $0$ ⁠, $1$ et $6$ ⁠, on obtient trois termes consécutifs d’une suite géométrique.

On cherche ces trois nombres.

Montrer que $x_2 = 7$ et que les nombres s’écrivent $7 - r$ ⁠, $7$ et $7 + r$ ⁠, où $r$ est la raison de la suite arithmétique.
Rappeler pourquoi, si trois nombres non nuls $a$ ⁠, $b$ ⁠, $c$ sont des termes consécutifs d’une suite géométrique, alors $b^2 = ac$ ⁠.
En déduire que $r$ vérifie l’équation $r^2 + 6r - 27 = 0$ ⁠.
Résoudre cette équation et donner les deux triplets de nombres possibles. Vérifier chaque triplet.

Indice 1 · piste générale

Trois termes consécutifs d’une suite arithmétique s’écrivent $x_2 - r$ ⁠, $x_2$ ⁠, $x_2 + r$ ⁠.
Indice 2

Après ajout, les trois nombres sont $7 - r$ ⁠, $8$ et $13 + r$ ⁠. Applique la relation $b^2 = ac$ avec $b = 8$ ⁠.
Indice 3 · plus précis

Pour la dernière question, ne te contente pas de résoudre : calcule les nombres obtenus après ajout et vérifie qu’ils forment bien une progression géométrique.

Voir la correction Masquer la correction

1. Les nombres sont $x_2 - r$ ⁠, $x_2$ et $x_2 + r$ ⁠. Leur somme vaut $3x_2 = 21$ ⁠, donc $x_2 = 7$ ⁠. Les nombres sont $7 - r$ ⁠, $7$ et $7 + r$ ⁠.

2. Si $b = qa$ et $c = qb$ ⁠, alors $ac = a \times q^2 a = (qa)^2 = b^2$ ⁠.

3. Après ajout, on obtient $7 - r$ ⁠, $8$ et $13 + r$ ⁠. D’après la question 2 :

8^2 = (7 - r)(13 + r) = 91 - 6r - r^2,

soit $64 = 91 - 6r - r^2$ ⁠, c’est-à-dire $r^2 + 6r - 27 = 0$ ⁠.

4. $\Delta = 36 + 108 = 144$ et $\sqrt{\Delta} = 12$ ⁠, donc

r_1 = \frac{-6 - 12}{2} = -9 \qquad\text{et}\qquad r_2 = \frac{-6 + 12}{2} = 3.

Pour $r = 3$  : les nombres sont $4$ ⁠, $7$ ⁠, $10$ ⁠. Après ajout : $4$ ⁠, $8$ ⁠, $16$ ⁠, suite géométrique de raison $2$ ⁠.
Pour $r = -9$  : les nombres sont $16$ ⁠, $7$ ⁠, $-2$ ⁠. Après ajout : $16$ ⁠, $8$ ⁠, $4$ ⁠, suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ ⁠.

Il y a donc deux solutions : $(4\,;\,7\,;\,10)$ et $(16\,;\,7\,;\,-2)$ ⁠.

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Exercice 6 — Une récurrence avec suite auxiliaire

Très difficile Durée estimée : 40 min Chapitres mobilisés : Suites numériques + Puissances (Seconde)

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout $n \in \N$ ⁠, $u_{n+1} = 3u_n - 2n - 1$ ⁠. On pose $v_n = u_n - n - 1$ ⁠.

Calculer $u_1$ ⁠, $u_2$ et $u_3$ ⁠.
Montrer que $(v_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
En déduire que $u_n = 3^n + n + 1$ pour tout $n \in \N$ ⁠.
Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante.
Montrer que $u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \dfrac{3^{n+1} - 1}{2} + \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ ⁠.
Compléter le programme suivant pour qu’il affiche le plus petit entier $n$ tel que $u_n > 1000$ ⁠, puis donner la valeur affichée.

n = 0
u = 2
while ...:
    u = ...
    n = n + 1
print(n)

Indice 1 · piste générale

Pour la question 2, exprime $v_{n+1}$ à l’aide de $u_{n+1}$ ⁠, puis remplace $u_{n+1}$ par sa définition et fais apparaître $v_n$ ⁠.
Indice 2

$v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1) - 1 = 3u_n - 3n - 3$ ⁠. Factorise par $3$ et reconnais $v_n$ ⁠.
Indice 3

Pour la question 5, sépare la somme en deux : la somme des $3^k$ (géométrique) et la somme des $k + 1$ (somme des premiers entiers).
Indice 4 · plus précis

Pour le programme de la question 6, dans la boucle on utilise $n$ avant de l’augmenter : la mise à jour de $u$ doit venir avant $n = n + 1$ ⁠.

Voir la correction Masquer la correction

1. $u_1 = 3 \times 2 - 0 - 1 = 5$ ⁠, $u_2 = 3 \times 5 - 2 - 1 = 12$ et $u_3 = 3 \times 12 - 4 - 1 = 31$ ⁠.

2. Pour tout $n \in \N$  :

v_{n+1} = u_{n+1} - (n + 1) - 1 = 3u_n - 2n - 1 - n - 2 = 3u_n - 3n - 3 = 3(u_n - n - 1) = 3v_n.

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $3$ et de premier terme $v_0 = 2 - 0 - 1 = 1$ ⁠.

3. $v_n = 3^n$ ⁠, donc $u_n = v_n + n + 1 = 3^n + n + 1$ ⁠.

4. Pour tout $n \in \N$  :

u_{n+1} - u_n = 3^{n+1} + (n+2) - 3^n - (n+1) = 2 \times 3^n + 1 > 0.

La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

5. Avec $u_k = 3^k + (k + 1)$  :

\sum_{k=0}^{n} u_k = (1 + 3 + \cdots + 3^n) + (1 + 2 + \cdots + (n+1)).

La première somme vaut $\dfrac{1 - 3^{n+1}}{1 - 3} = \dfrac{3^{n+1} - 1}{2}$ et la seconde vaut $\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ ⁠, d’où le résultat.

Vérification pour $n = 2$  : $2 + 5 + 12 = 19$ et $\dfrac{27 - 1}{2} + \dfrac{3 \times 4}{2} = 13 + 6 = 19$ ⁠.

6.

n = 0
u = 2
while u <= 1000:
    u = 3 * u - 2 * n - 1
    n = n + 1
print(n)

On a $u_6 = 736 \leq 1000$ et $u_7 = 2195 > 1000$  : le programme affiche $7$ ⁠.

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