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Première · Maths · Chapitre 3

Suites numériques

Suites définies par une formule ou par récurrence, sens de variation, suites arithmétiques et géométriques, sommes de termes.

Une notion à la fois. Des exercices courts, juste après le cours, pour t’entraîner sur une seule méthode du chapitre.

Cherche d’abord seul, puis demande un indice, et seulement ensuite la correction.

Calculer des termes

Exercice 1 — Calculer des termes avec une formule

Difficulté : Facile
  1. Soit (un)(u_n) la suite définie sur N\N par un=2n2−3n+1u_n = 2n^2 - 3n + 1⁠. Calculer u0u_0⁠, u1u_1 et u4u_4⁠.
  2. Soit (vn)(v_n) la suite définie sur N\N par vn=n+1n+2v_n = \dfrac{n + 1}{n + 2}⁠. Calculer v0v_0 et v3v_3⁠.
Voir la correction Masquer la correction

1.

u0=1,u1=2−3+1=0,u4=2×16−12+1=21.u_0 = 1, \qquad u_1 = 2 - 3 + 1 = 0, \qquad u_4 = 2 \times 16 - 12 + 1 = 21.

2. v0=12v_0 = \dfrac{1}{2} et v3=45v_3 = \dfrac{4}{5}⁠.

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Exercice 2 — Calculer des termes avec une récurrence

Difficulté : Facile
  1. Soit (un)(u_n) définie par u0=3u_0 = 3 et un+1=2un−5u_{n+1} = 2u_n - 5⁠. Calculer u1u_1⁠, u2u_2 et u3u_3⁠.
  2. Soit (vn)(v_n) définie par v0=1v_0 = 1 et vn+1=11+vnv_{n+1} = \dfrac{1}{1 + v_n}⁠. Calculer v1v_1⁠, v2v_2 et v3v_3⁠.
Voir la correction Masquer la correction

1.

u1=2×3−5=1,u2=2×1−5=−3,u3=2×(−3)−5=−11.u_1 = 2 \times 3 - 5 = 1, \qquad u_2 = 2 \times 1 - 5 = -3, \qquad u_3 = 2 \times (-3) - 5 = -11.

2.

v1=11+1=12,v2=11+12=23,v3=11+23=35.v_1 = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}, \qquad v_2 = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3}, \qquad v_3 = \frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{3}{5}.

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Sens de variation

Exercice 3 — Sens de variation avec la différence

Difficulté : Facile

Étudier le sens de variation des suites suivantes, définies sur N\N⁠.

  1. un=n2+3nu_n = n^2 + 3n
  2. vn=5−2nv_n = 5 - 2n
Voir la correction Masquer la correction

1. Pour tout n∈Nn \in \N :

un+1−un=(n+1)2+3(n+1)−n2−3n=2n+1+3=2n+4>0.u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 + 3(n+1) - n^2 - 3n = 2n + 1 + 3 = 2n + 4 > 0.

La suite (un)(u_n) est strictement croissante.

2. Pour tout n∈Nn \in \N :

vn+1−vn=5−2(n+1)−(5−2n)=−2<0.v_{n+1} - v_n = 5 - 2(n + 1) - (5 - 2n) = -2 < 0.

La suite (vn)(v_n) est strictement décroissante (c’est une suite arithmétique de raison −2-2⁠).

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Exercice 4 — Sens de variation dont le signe dépend de n

Difficulté : Moyen
  1. Soit un=n2−6nu_n = n^2 - 6n pour n∈Nn \in \N⁠.
    1. Montrer que un+1−un=2n−5u_{n+1} - u_n = 2n - 5⁠.
    2. En déduire le sens de variation de (un)(u_n) : la suite est-elle monotone ?
  2. Soit wn=nn+1w_n = \dfrac{n}{n + 1} pour n∈Nn \in \N⁠. Montrer que (wn)(w_n) est strictement croissante.
Voir la correction Masquer la correction

1.a. Pour tout n∈Nn \in \N :

un+1−un=(n+1)2−6(n+1)−n2+6n=n2+2n+1−6n−6−n2+6n=2n−5.u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 6(n+1) - n^2 + 6n = n^2 + 2n + 1 - 6n - 6 - n^2 + 6n = 2n - 5.

1.b. 2n−5<02n - 5 < 0 pour n≤2n \leq 2 et 2n−5>02n - 5 > 0 pour n≥3n \geq 3⁠.

Donc u0>u1>u2>u3u_0 > u_1 > u_2 > u_3 puis u3<u4<u5<⋯u_3 < u_4 < u_5 < \cdots : la suite est décroissante jusqu’au rang 33⁠, puis croissante à partir du rang 33⁠. Elle n’est pas monotone sur N\N⁠.

Vérification : u0=0u_0 = 0⁠, u1=−5u_1 = -5⁠, u2=−8u_2 = -8⁠, u3=−9u_3 = -9⁠, u4=−8u_4 = -8⁠.

2. Pour tout n∈Nn \in \N :

wn+1−wn=n+1n+2−nn+1=(n+1)2−n(n+2)(n+1)(n+2)=1(n+1)(n+2)>0.w_{n+1} - w_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0.

La suite (wn)(w_n) est strictement croissante.

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Exercice 5 — Sens de variation des suites arithmétiques et géométriques

Difficulté : Facile

Donner le sens de variation de chacune des suites suivantes (définies sur N\N⁠), en justifiant.

  1. (un)(u_n) arithmétique de raison r=−0,5r = -0{,}5⁠.
  2. (vn)(v_n) géométrique de premier terme v0=5v_0 = 5 et de raison q=1,2q = 1{,}2⁠.
  3. (wn)(w_n) géométrique de premier terme w0=−4w_0 = -4 et de raison q=12q = \dfrac{1}{2}⁠.
  4. (tn)(t_n) géométrique de premier terme t0=1t_0 = 1 et de raison q=−2q = -2⁠.
Voir la correction Masquer la correction

1. r<0r < 0⁠, donc (un)(u_n) est strictement décroissante.

2. v0>0v_0 > 0 et q>1q > 1⁠, donc (vn)(v_n) est strictement croissante.

3. w0<0w_0 < 0 et 0<q<10 < q < 1 : les variations sont inversées, donc (wn)(w_n) est strictement croissante. Vérification : w0=−4w_0 = -4 et w1=−2>w0w_1 = -2 > w_0⁠.

4. q<0q < 0 : les termes valent 11⁠, −2-2⁠, 44⁠, −8-8⁠, …\ldots Ils changent de signe à chaque étape, donc (tn)(t_n) n’est pas monotone.

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Suites arithmétiques

Exercice 6 — Reconnaître une suite arithmétique

Difficulté : Facile

Parmi les suites suivantes, dire lesquelles sont arithmétiques. Donner alors la raison et le premier terme.

  1. un=4n+7u_n = 4n + 7 pour tout n∈Nn \in \N
  2. vn=n2+1v_n = n^2 + 1 pour tout n∈Nn \in \N
  3. w0=10w_0 = 10 et wn+1=wn−3w_{n+1} = w_n - 3 pour tout n∈Nn \in \N
Voir la correction Masquer la correction

1. un+1−un=4(n+1)+7−(4n+7)=4u_{n+1} - u_n = 4(n+1) + 7 - (4n + 7) = 4⁠. La suite est arithmétique de raison 44 et de premier terme u0=7u_0 = 7⁠.

2. v0=1v_0 = 1⁠, v1=2v_1 = 2⁠, v2=5v_2 = 5⁠. Alors v1−v0=1v_1 - v_0 = 1 et v2−v1=3v_2 - v_1 = 3 : les différences ne sont pas égales, donc la suite n’est pas arithmétique.

3. wn+1=wn+(−3)w_{n+1} = w_n + (-3) : la suite est arithmétique de raison −3-3 et de premier terme w0=10w_0 = 10⁠.

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Exercice 7 — Terme général d’une suite arithmétique

Difficulté : Facile

Soit (un)(u_n) la suite arithmétique de premier terme u0=4u_0 = 4 et de raison r=3r = 3⁠.

  1. Calculer u1u_1⁠, u2u_2 et u3u_3⁠.
  2. Exprimer unu_n en fonction de nn⁠.
  3. Calculer u25u_{25}⁠.
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1. u1=4+3=7u_1 = 4 + 3 = 7⁠, u2=10u_2 = 10 et u3=13u_3 = 13⁠.

2. un=u0+nr=4+3nu_n = u_0 + nr = 4 + 3n⁠.

3. u25=4+3×25=79u_{25} = 4 + 3 \times 25 = 79⁠.

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Exercice 8 — Suite arithmétique connue par deux termes

Difficulté : Moyen

Soit (un)(u_n) une suite arithmétique telle que u3=11u_3 = 11 et u8=26u_8 = 26⁠.

  1. Déterminer la raison rr puis le premier terme u0u_0⁠.
  2. Exprimer unu_n en fonction de nn⁠.
  3. Pour quelle valeur de nn a-t-on un=101u_n = 101 ?
Voir la correction Masquer la correction

1. u8=u3+(8−3)ru_8 = u_3 + (8 - 3)r⁠, donc 26=11+5r26 = 11 + 5r et r=3r = 3⁠.

Puis u3=u0+3ru_3 = u_0 + 3r donne u0=11−9=2u_0 = 11 - 9 = 2⁠.

2. un=2+3nu_n = 2 + 3n⁠.

3. 2+3n=1012 + 3n = 101 équivaut à 3n=993n = 99⁠, soit n=33n = 33⁠.

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Suites géométriques

Exercice 9 — Reconnaître une suite géométrique

Difficulté : Facile

Parmi les suites suivantes, dire lesquelles sont géométriques. Donner alors la raison et le premier terme.

  1. un=5×3nu_n = 5 \times 3^n pour tout n∈Nn \in \N
  2. v0=8v_0 = 8 et vn+1=12 vnv_{n+1} = \dfrac{1}{2}\,v_n pour tout n∈Nn \in \N
  3. wn=2n+1w_n = 2^n + 1 pour tout n∈Nn \in \N
Voir la correction Masquer la correction

1. un+1un=5×3n+15×3n=3\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{5 \times 3^{n+1}}{5 \times 3^n} = 3⁠. La suite est géométrique de raison 33 et de premier terme u0=5u_0 = 5⁠.

2. La relation vn+1=12 vnv_{n+1} = \dfrac{1}{2}\,v_n montre que la suite est géométrique de raison 12\dfrac{1}{2} et de premier terme v0=8v_0 = 8⁠.

3. w0=2w_0 = 2⁠, w1=3w_1 = 3⁠, w2=5w_2 = 5⁠. Alors w1w0=32\dfrac{w_1}{w_0} = \dfrac{3}{2} et w2w1=53\dfrac{w_2}{w_1} = \dfrac{5}{3} : les quotients sont différents, donc la suite n’est pas géométrique.

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Exercice 10 — Terme général d’une suite géométrique

Difficulté : Facile
  1. Soit (un)(u_n) la suite géométrique de premier terme u0=2u_0 = 2 et de raison q=3q = 3⁠. Exprimer unu_n en fonction de nn puis calculer u4u_4⁠.
  2. Soit (vn)(v_n) la suite géométrique de premier terme v0=12v_0 = 12 et de raison q=12q = \dfrac{1}{2}⁠. Calculer v3v_3⁠.
Voir la correction Masquer la correction

1. un=2×3nu_n = 2 \times 3^n et u4=2×81=162u_4 = 2 \times 81 = 162⁠.

2.

v3=12×(12)3=128=32.v_3 = 12 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}.

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Exercice 11 — Suite géométrique connue par deux termes

Difficulté : Moyen

Soit (un)(u_n) une suite géométrique de raison qq telle que u2=12u_2 = 12 et u5=96u_5 = 96⁠.

  1. Déterminer la raison qq⁠.
  2. Calculer u0u_0 puis exprimer unu_n en fonction de nn⁠.
  3. Calculer u7u_7⁠.
Voir la correction Masquer la correction

1. u5=u2×q3u_5 = u_2 \times q^{3} donne q3=9612=8q^3 = \dfrac{96}{12} = 8⁠, donc q=2q = 2⁠.

2. u2=u0×q2u_2 = u_0 \times q^2 donne u0=124=3u_0 = \dfrac{12}{4} = 3⁠, donc un=3×2nu_n = 3 \times 2^n⁠.

3. u7=3×27=384u_7 = 3 \times 2^7 = 384⁠.

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Sommes de termes

Exercice 12 — Calculer des sommes de termes

Difficulté : Facile

Calculer les sommes suivantes.

  1. S1=1+2+3+⋯+50S_1 = 1 + 2 + 3 + \cdots + 50
  2. S2=u0+u1+⋯+u20S_2 = u_0 + u_1 + \cdots + u_{20} où (un)(u_n) est arithmétique de premier terme u0=3u_0 = 3 et de raison r=2r = 2⁠.
  3. S3=1+3+9+⋯+36S_3 = 1 + 3 + 9 + \cdots + 3^6
Voir la correction Masquer la correction

1.

S1=50×512=1275.S_1 = \frac{50 \times 51}{2} = 1275.

2. u20=3+20×2=43u_{20} = 3 + 20 \times 2 = 43⁠. Il y a 2121 termes, donc

S2=21×3+432=21×23=483.S_2 = 21 \times \frac{3 + 43}{2} = 21 \times 23 = 483.

3. C’est la somme des puissances de q=3q = 3 jusqu’à n=6n = 6 :

S3=1−371−3=1−2187−2=1093.S_3 = \frac{1 - 3^{7}}{1 - 3} = \frac{1 - 2187}{-2} = 1093.

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Exercice 13 — Sommes qui ne commencent pas au premier terme

Difficulté : Moyen
  1. Soit un=3n+1u_n = 3n + 1⁠. Calculer S=u5+u6+⋯+u15S = u_5 + u_6 + \cdots + u_{15}⁠.
  2. Calculer T=2+4+8+⋯+1024T = 2 + 4 + 8 + \cdots + 1024⁠.
Voir la correction Masquer la correction

1. Il y a 15−5+1=1115 - 5 + 1 = 11 termes, avec u5=16u_5 = 16 et u15=46u_{15} = 46 :

S=11×16+462=11×31=341.S = 11 \times \frac{16 + 46}{2} = 11 \times 31 = 341.

2. On factorise par 22 : T=2 (1+2+4+⋯+29)T = 2\,(1 + 2 + 4 + \cdots + 2^9)⁠, donc

T=2×1−2101−2=2×1023=2046.T = 2 \times \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 2 \times 1023 = 2046.

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Seuil et algorithme

Exercice 14 — Seuil et algorithme

Difficulté : Moyen

Soit (un)(u_n) la suite définie par u0=1u_0 = 1 et un+1=2un+1u_{n+1} = 2u_n + 1⁠.

  1. Compléter le programme suivant pour qu’il affiche le plus petit entier nn tel que un>100u_n > 100⁠.
n = 0
u = 1
while ...:
    u = ...
    n = n + 1
print(n)
  1. Quelle valeur ce programme affiche-t-il ? Quelle est alors la valeur de unu_n ?
Voir la correction Masquer la correction

1. On continue tant que u≤100u \leq 100 :

n = 0
u = 1
while u <= 100:
    u = 2 * u + 1
    n = n + 1
print(n)

2. Les termes successifs sont 11⁠, 33⁠, 77⁠, 1515⁠, 3131⁠, 6363⁠, 127127⁠. Le premier terme supérieur à 100100 est u6=127u_6 = 127 : le programme affiche 66 (et u6=127u_6 = 127⁠).

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