Dérivation

1. $u(x) = x^2 + 3$⟦u(x) = x^2 + 3⟧ et $v(x) = x - 1$⟦v(x) = x - 1⟧ sont dérivables, et $v$⟦v⟧ ne s’annule pas sur chacun des deux intervalles : $f = \dfrac{u}{v}$⟦f = \dfrac{u}{v}⟧ y est dérivable. Avec $u'(x) = 2x$⟦u'(x) = 2x⟧ et $v'(x) = 1$⟦v'(x) = 1⟧ :

$$f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 3)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 3}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}.$$⟦f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 3)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 3}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}.⟧

2. Pour $x \neq 1$⟦x \neq 1⟧⁠, $(x - 1)^2 > 0$⟦(x - 1)^2 > 0⟧ : $f'(x)$⟦f'(x)⟧ a le signe de $x^2 - 2x - 3$⟦x^2 - 2x - 3⟧⁠.

$\Delta = 4 + 12 = 16$⟦\Delta = 4 + 12 = 16⟧⁠, racines $\dfrac{2 - 4}{2} = -1$⟦\dfrac{2 - 4}{2} = -1⟧ et $\dfrac{2 + 4}{2} = 3$⟦\dfrac{2 + 4}{2} = 3⟧⁠. Comme $a = 1 > 0$⟦a = 1 > 0⟧⁠, le numérateur est positif à l’extérieur de $\interff{-1}{3}$⟦\interff{-1}{3}⟧ et négatif à l’intérieur.

3. $f(-1) = \dfrac{1 + 3}{-2} = -2$⟦f(-1) = \dfrac{1 + 3}{-2} = -2⟧ et $f(3) = \dfrac{9 + 3}{2} = 6$⟦f(3) = \dfrac{9 + 3}{2} = 6⟧⁠.

$$\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 1 & & 3 & & +\infty \\ \hline x^2 - 2x - 3 & & + & 0 & - & | & - & 0 & + & \\ (x - 1)^2 & & + & | & + & 0 & + & | & + & \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \| & - & 0 & + & \\ \hline & & & -2 & & \| & & & & \\ f & & \nearrow & & \searrow & \| & \searrow & & \nearrow & \\ & & & & & \| & & 6 & & \\ \hline \end{array}$$

$f$⟦f⟧ admet un maximum local $-2$⟦-2⟧ en $x = -1$⟦x = -1⟧ et un minimum local $6$⟦6⟧ en $x = 3$⟦x = 3⟧⁠.

4. $f(0) = \dfrac{3}{-1} = -3$⟦f(0) = \dfrac{3}{-1} = -3⟧ et $f'(0) = \dfrac{-3}{1} = -3$⟦f'(0) = \dfrac{-3}{1} = -3⟧⁠. Donc $T : y = -3(x - 0) - 3$⟦T : y = -3(x - 0) - 3⟧⁠, soit $y = -3x - 3$⟦y = -3x - 3⟧⁠.

5. On cherche les $x \neq 1$⟦x \neq 1⟧ tels que $f'(x) = -3$⟦f'(x) = -3⟧ :

$$\frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = -3 \iff x^2 - 2x - 3 = -3(x^2 - 2x + 1) \iff 4x^2 - 8x = 0 \iff 4x(x - 2) = 0.$$⟦\frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = -3 \iff x^2 - 2x - 3 = -3(x^2 - 2x + 1) \iff 4x^2 - 8x = 0 \iff 4x(x - 2) = 0.⟧

Les solutions sont $x = 0$⟦x = 0⟧ (le point de $T$⟦T⟧⁠) et $x = 2$⟦x = 2⟧⁠. Au point d’abscisse $2$⟦2⟧ : $f(2) = 7$⟦f(2) = 7⟧⁠, donc la tangente a pour équation $y = -3(x - 2) + 7$⟦y = -3(x - 2) + 7⟧⁠, soit $y = -3x + 13$⟦y = -3x + 13⟧⁠.

6. D’après le tableau, sur $\interoo{1}{+\infty}$⟦\interoo{1}{+\infty}⟧⁠, $f$⟦f⟧ admet un minimum égal à $6$⟦6⟧ (atteint en $3$⟦3⟧⁠). Donc $f(x) \geq 6$⟦f(x) \geq 6⟧ pour tout $x > 1$⟦x > 1⟧⁠.

Méthode algébrique : pour $x > 1$⟦x > 1⟧⁠,

$$f(x) - 6 = \frac{x^2 + 3 - 6(x - 1)}{x - 1} = \frac{x^2 - 6x + 9}{x - 1} = \frac{(x - 3)^2}{x - 1} \geq 0.$$⟦f(x) - 6 = \frac{x^2 + 3 - 6(x - 1)}{x - 1} = \frac{x^2 - 6x + 9}{x - 1} = \frac{(x - 3)^2}{x - 1} \geq 0.⟧

1. Le côté découpé doit être positif et la largeur du fond $30 - 2x$⟦30 - 2x⟧ aussi : $x > 0$⟦x > 0⟧ et $30 - 2x > 0$⟦30 - 2x > 0⟧⁠, soit $x \in \interoo{0}{15}$⟦x \in \interoo{0}{15}⟧⁠. La boîte est un pavé de hauteur $x$⟦x⟧ et de base carrée de côté $30 - 2x$⟦30 - 2x⟧ : $V(x) = x(30 - 2x)^2$⟦V(x) = x(30 - 2x)^2⟧⁠.

2. $(30 - 2x)^2 = 900 - 120x + 4x^2$⟦(30 - 2x)^2 = 900 - 120x + 4x^2⟧⁠, donc $V(x) = x(4x^2 - 120x + 900) = 4x^3 - 120x^2 + 900x$⟦V(x) = x(4x^2 - 120x + 900) = 4x^3 - 120x^2 + 900x⟧⁠.

3. $V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 12(x^2 - 20x + 75)$⟦V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 12(x^2 - 20x + 75)⟧⁠.

4. $\Delta = 400 - 300 = 100$⟦\Delta = 400 - 300 = 100⟧⁠, racines $\dfrac{20 - 10}{2} = 5$⟦\dfrac{20 - 10}{2} = 5⟧ et $\dfrac{20 + 10}{2} = 15$⟦\dfrac{20 + 10}{2} = 15⟧⁠. Donc $V'(x) = 12(x - 5)(x - 15)$⟦V'(x) = 12(x - 5)(x - 15)⟧⁠.

Sur $\interoo{0}{15}$⟦\interoo{0}{15}⟧⁠, $x - 15 < 0$⟦x - 15 < 0⟧ : $V'(x)$⟦V'(x)⟧ est positif sur $\interoo{0}{5}$⟦\interoo{0}{5}⟧ et négatif sur $\interoo{5}{15}$⟦\interoo{5}{15}⟧⁠.

$$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 & & 5 & & 15 \\ \hline V'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline & & & 2\,000 & & \\ V & & \nearrow & & \searrow & \\ & & & & & \\ \hline \end{array}$$

5. Le volume est maximal pour $x = 5$⟦x = 5⟧ cm : $V(5) = 5 \times 20^2 = 2\,000~\text{cm}^3$⟦V(5) = 5 \times 20^2 = 2\,000~\text{cm}^3⟧⁠, soit $2$⟦2⟧ litres.

Partie A

1. $f'(x) = 2x - 2$⟦f'(x) = 2x - 2⟧⁠, donc $f'(a) = 2a - 2$⟦f'(a) = 2a - 2⟧ et $f(a) = a^2 - 2a + 3$⟦f(a) = a^2 - 2a + 3⟧⁠.

$$T_a : y = (2a - 2)(x - a) + a^2 - 2a + 3 = (2a - 2)x - 2a^2 + 2a + a^2 - 2a + 3 = (2a - 2)x - a^2 + 3.$$⟦T_a : y = (2a - 2)(x - a) + a^2 - 2a + 3 = (2a - 2)x - 2a^2 + 2a + a^2 - 2a + 3 = (2a - 2)x - a^2 + 3.⟧

2. $A \in T_a \iff -2 = (2a - 2) \times 1 - a^2 + 3 \iff -2 = -a^2 + 2a + 1 \iff a^2 - 2a - 3 = 0$⟦A \in T_a \iff -2 = (2a - 2) \times 1 - a^2 + 3 \iff -2 = -a^2 + 2a + 1 \iff a^2 - 2a - 3 = 0⟧⁠.

3. $\Delta = 4 + 12 = 16$⟦\Delta = 4 + 12 = 16⟧⁠, d’où $a = \dfrac{2 - 4}{2} = -1$⟦a = \dfrac{2 - 4}{2} = -1⟧ ou $a = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$⟦a = \dfrac{2 + 4}{2} = 3⟧⁠.

• $a = -1$⟦a = -1⟧ : $T_{-1} : y = -4x + 2$⟦T_{-1} : y = -4x + 2⟧⁠.
• $a = 3$⟦a = 3⟧ : $T_3 : y = 4x - 6$⟦T_3 : y = 4x - 6⟧⁠.

Deux tangentes passent par $A$⟦A⟧⁠. Vérification : $-4 + 2 = -2$⟦-4 + 2 = -2⟧ et $4 - 6 = -2$⟦4 - 6 = -2⟧⁠.

Partie B

1. $A_m \in T_a \iff m = (2a - 2) - a^2 + 3 \iff a^2 - 2a + m - 1 = 0$⟦A_m \in T_a \iff m = (2a - 2) - a^2 + 3 \iff a^2 - 2a + m - 1 = 0⟧⁠.

2. Équation du second degré d’inconnue $a$⟦a⟧ : $\Delta = 4 - 4(m - 1) = 8 - 4m = 4(2 - m)$⟦\Delta = 4 - 4(m - 1) = 8 - 4m = 4(2 - m)⟧⁠.

• Si $m < 2$⟦m < 2⟧ : $\Delta > 0$⟦\Delta > 0⟧⁠, deux tangentes passent par $A_m$⟦A_m⟧⁠.
• Si $m = 2$⟦m = 2⟧ : $\Delta = 0$⟦\Delta = 0⟧⁠, une seule tangente (pour $a = 1$⟦a = 1⟧⁠).
• Si $m > 2$⟦m > 2⟧ : $\Delta < 0$⟦\Delta < 0⟧⁠, aucune tangente ne passe par $A_m$⟦A_m⟧⁠.

3. $f(1) = 1 - 2 + 3 = 2$⟦f(1) = 1 - 2 + 3 = 2⟧ : le point $A_2$⟦A_2⟧ est sur la parabole, et la seule tangente qui passe par lui est la tangente en ce point. Les points $A_m$⟦A_m⟧ avec $m > 2$⟦m > 2⟧ sont au-dessus de $\mathcal{P}$⟦\mathcal{P}⟧⁠, à l’intérieur de la parabole : aucune tangente ne les atteint. Les points avec $m < 2$⟦m < 2⟧ sont en dessous de $\mathcal{P}$⟦\mathcal{P}⟧ : on peut tracer deux tangentes, comme pour $A$⟦A⟧ dans la partie A.