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Première · Maths · Chapitre 2

Dérivation

Nombre dérivé, tangente, dérivées usuelles, opérations sur les dérivées et lien avec les variations.

Une notion à la fois. Des exercices courts, juste après le cours, pour t’entraîner sur une seule méthode du chapitre.

Cherche d’abord seul, puis demande un indice, et seulement ensuite la correction.

Nombre dérivé

Exercice 1 — Nombre dérivé à partir du taux de variation

Difficulté : Moyen

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x2−3xf(x) = x^2 - 3x⁠.

  1. Montrer que, pour tout réel h≠0h \neq 0 : f(2+h)−f(2)h=h+1\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} = h + 1⁠.
  2. En déduire que ff est dérivable en 22 et donner f′(2)f'(2)⁠.
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1. f(2+h)=(2+h)2−3(2+h)=4+4h+h2−6−3h=h2+h−2f(2 + h) = (2 + h)^2 - 3(2 + h) = 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h = h^2 + h - 2 et f(2)=4−6=−2f(2) = 4 - 6 = -2⁠.

f(2+h)−f(2)h=h2+h−2+2h=h(h+1)h=h+1.\frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \frac{h^2 + h - 2 + 2}{h} = \frac{h(h + 1)}{h} = h + 1.

2. Quand hh tend vers 00⁠, h+1h + 1 tend vers 11⁠, qui est un nombre réel. Donc ff est dérivable en 22 et f′(2)=1f'(2) = 1⁠.

Vérification avec la formule : f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3⁠, donc f′(2)=4−3=1f'(2) = 4 - 3 = 1⁠.

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Équation d’une tangente

Exercice 2 — Écrire l’équation d’une tangente

Difficulté : Facile

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x⁠, et Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative.

  1. Déterminer une équation de la tangente à Cf\mathcal{C}_f au point d’abscisse 11⁠.
  2. Même question au point d’abscisse 00⁠.
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ff est dérivable sur R\R et f′(x)=3x2−2f'(x) = 3x^2 - 2⁠.

1. f(1)=1−2=−1f(1) = 1 - 2 = -1 et f′(1)=3−2=1f'(1) = 3 - 2 = 1⁠.

y=1×(x−1)+(−1)  ⟺  y=x−2.y = 1 \times (x - 1) + (-1) \iff y = x - 2.

2. f(0)=0f(0) = 0 et f′(0)=−2f'(0) = -2⁠, donc la tangente a pour équation y=−2(x−0)+0y = -2(x - 0) + 0⁠, soit y=−2xy = -2x⁠.

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Dérivées usuelles

Exercice 3 — Dérivées usuelles et sommes

Difficulté : Facile

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes.

  1. f(x)=4x3−5x2+7x−1f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7x - 1 sur R\R
  2. g(x)=3x−2xg(x) = 3\sqrt{x} - \dfrac{2}{x} sur ]0 ; +∞[\interoo{0}{+\infty}
  3. h(x)=x42+1h(x) = \dfrac{x^4}{2} + 1 sur R\R
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1. f′(x)=4×3x2−5×2x+7=12x2−10x+7f'(x) = 4 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 12x^2 - 10x + 7⁠.

2. g(x)=3x−2×1xg(x) = 3\sqrt{x} - 2 \times \dfrac{1}{x}⁠, donc

g′(x)=3×12x−2×(−1x2)=32x+2x2.g'(x) = 3 \times \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2 \times \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x^2}.

3. h′(x)=12×4x3=2x3h'(x) = \dfrac{1}{2} \times 4x^3 = 2x^3 (la constante 11 a une dérivée nulle).

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Dériver un produit

Exercice 4 — Dériver un produit

Difficulté : Moyen

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

  1. f(x)=(2x+1)xf(x) = (2x + 1)\sqrt{x} sur ]0 ; +∞[\interoo{0}{+\infty} (donner le résultat sous la forme d’un seul quotient)
  2. g(x)=(x2+1)(3−x)g(x) = (x^2 + 1)(3 - x) sur R\R
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1. u(x)=2x+1u(x) = 2x + 1⁠, u′(x)=2u'(x) = 2 ; v(x)=xv(x) = \sqrt{x}⁠, v′(x)=12xv'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}⁠.

f′(x)=2x+(2x+1)×12x=2x×2x+2x+12x=4x+2x+12x=6x+12x.f'(x) = 2\sqrt{x} + (2x + 1) \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x} \times 2\sqrt{x} + 2x + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{4x + 2x + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{6x + 1}{2\sqrt{x}}.

2. u(x)=x2+1u(x) = x^2 + 1⁠, u′(x)=2xu'(x) = 2x ; v(x)=3−xv(x) = 3 - x⁠, v′(x)=−1v'(x) = -1⁠.

g′(x)=2x(3−x)+(x2+1)×(−1)=6x−2x2−x2−1=−3x2+6x−1.g'(x) = 2x(3 - x) + (x^2 + 1) \times (-1) = 6x - 2x^2 - x^2 - 1 = -3x^2 + 6x - 1.

On peut vérifier en développant d’abord : g(x)=−x3+3x2−x+3g(x) = -x^3 + 3x^2 - x + 3⁠, donc g′(x)=−3x2+6x−1g'(x) = -3x^2 + 6x - 1⁠.

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Dériver un quotient

Exercice 5 — Dériver un quotient

Difficulté : Facile

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

  1. f(x)=3x−1x+2f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2} sur ]−2 ; +∞[\interoo{-2}{+\infty}
  2. g(x)=1x2+1g(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} sur R\R
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1. v(x)=x+2v(x) = x + 2 ne s’annule pas sur ]−2 ; +∞[\interoo{-2}{+\infty}⁠. Avec u′(x)=3u'(x) = 3 et v′(x)=1v'(x) = 1 :

f′(x)=3(x+2)−(3x−1)×1(x+2)2=3x+6−3x+1(x+2)2=7(x+2)2.f'(x) = \frac{3(x + 2) - (3x - 1) \times 1}{(x + 2)^2} = \frac{3x + 6 - 3x + 1}{(x + 2)^2} = \frac{7}{(x + 2)^2}.

2. v(x)=x2+1≥1>0v(x) = x^2 + 1 \geq 1 > 0 ne s’annule jamais, et v′(x)=2xv'(x) = 2x :

g′(x)=−2x(x2+1)2.g'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}.

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Composée avec une fonction affine

Exercice 6 — Dériver une fonction composée avec une fonction affine

Difficulté : Moyen

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

  1. f(x)=3x+6f(x) = \sqrt{3x + 6} sur ]−2 ; +∞[\interoo{-2}{+\infty}
  2. g(x)=(2x−5)4g(x) = (2x - 5)^4 sur R\R
  3. h(x)=14−xh(x) = \dfrac{1}{4 - x} sur ]−∞ ; 4[\interoo{-\infty}{4}
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1. f(x)=u(3x+6)f(x) = u(3x + 6) avec u(X)=Xu(X) = \sqrt{X}⁠, u′(X)=12Xu'(X) = \dfrac{1}{2\sqrt{X}} et a=3a = 3 (3x+6>03x + 6 > 0 sur l’intervalle) :

f′(x)=3×123x+6=323x+6.f'(x) = 3 \times \frac{1}{2\sqrt{3x + 6}} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 6}}.

2. g(x)=u(2x−5)g(x) = u(2x - 5) avec u(X)=X4u(X) = X^4⁠, u′(X)=4X3u'(X) = 4X^3 et a=2a = 2 :

g′(x)=2×4(2x−5)3=8(2x−5)3.g'(x) = 2 \times 4(2x - 5)^3 = 8(2x - 5)^3.

3. h(x)=u(−x+4)h(x) = u(-x + 4) avec u(X)=1Xu(X) = \dfrac{1}{X}⁠, u′(X)=−1X2u'(X) = -\dfrac{1}{X^2} et a=−1a = -1 :

h′(x)=−1×(−1(4−x)2)=1(4−x)2.h'(x) = -1 \times \left(-\frac{1}{(4 - x)^2}\right) = \frac{1}{(4 - x)^2}.

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Dérivée et variations

Exercice 7 — Variations d’une fonction polynôme

Difficulté : Moyen

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1⁠.

  1. Calculer f′(x)f'(x) et étudier son signe.
  2. Dresser le tableau de variations de ff en précisant les extremums locaux.
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1. f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)⁠.

C’est un trinôme de racines −1-1 et 11 et de coefficient 3>03 > 0 : il est positif à l’extérieur des racines, négatif entre elles.

2. f(−1)=−1+3+1=3f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 et f(1)=1−3+1=−1f(1) = 1 - 3 + 1 = -1⁠.

x−∞−11+∞f′(x)+0−0+3f↗↘↗−1\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline & & & 3 & & & & \\ f & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & & & -1 & & \\ \hline \end{array}

ff admet un maximum local égal à 33 en x=−1x = -1 et un minimum local égal à −1-1 en x=1x = 1⁠.

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