Dérivation — Fiche de révision

Définitions clés

Nombre dérivé : $f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ ⁠.
Tangente au point d’abscisse $a$  :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Dérivées usuelles

$f(x)$	$f'(x)$	Dérivable sur
$k$	$0$	$\R$
$x^n$	$nx^{n-1}$	$\R$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\R\setminus\{0\}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$\interoo{0}{+\infty}$

Opérations

Fonction	Dérivée
$u + v$	$u' + v'$
$ku$	$ku'$
$uv$	$u'v + uv'$
$\dfrac{1}{v}$	$-\dfrac{v'}{v^2}$
$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
$g(ax + b)$	$a\,g'(ax + b)$

Dérivée et variations

Sur un intervalle : $f' \geq 0 \Rightarrow f$ croissante ; $f' \leq 0 \Rightarrow f$ décroissante. Si $f'$ s’annule en changeant de signe, $f$ admet un extremum local.

Méthode — Étude de variations en 4 étapes

Domaine et dérivabilité.
$f'(x)$ sous forme factorisée ou de trinôme.
Signe de $f'(x)$  : pour un trinôme, $\Delta$ et « signe de $a$ sauf entre les racines » (chapitre Second degré).
Tableau de variations, avec les valeurs des extremums.

Modèle de tableau :

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & a & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline & & & f(a) & & \\ f & & \nearrow & & \searrow & \\ & & & & & \\ \hline \end{array}

Pièges classiques

Attention

$(uv)' \neq u'v'$ et, pour un quotient, ne pas oublier $v^2$ au dénominateur ni l’ordre $u'v - uv'$ ⁠.
$\left((3x - 1)^4\right)' = 3 \times 4(3x - 1)^3$  : ne pas oublier le facteur $a = 3$ ⁠.
$\sqrt{x}$ n’est pas dérivable en $0$ ⁠.
Le signe de $f'$ donne les variations de $f$  ; ne pas le confondre avec le signe de $f$ ⁠.
Pour une fonction rationnelle, la valeur interdite coupe le tableau en deux intervalles : on conclut séparément sur chacun.