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Première · Maths · Chapitre 1

Second degré

Forme canonique, discriminant, racines, factorisation et signe d’un trinôme du second degré.

Une notion à la fois. Des exercices courts, juste après le cours, pour t’entraîner sur une seule méthode du chapitre.

Cherche d’abord seul, puis demande un indice, et seulement ensuite la correction.

Forme canonique

Exercice 1 — Mettre un trinôme sous forme canonique

Difficulté : Facile

Écrire sous forme canonique les trinômes suivants.

  1. f(x)=x2+6x+1f(x) = x^2 + 6x + 1
  2. g(x)=2x2−8x+5g(x) = 2x^2 - 8x + 5
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1. Ici a=1a = 1 et b=6b = 6⁠, donc α=−62×1=−3\alpha = -\dfrac{6}{2 \times 1} = -3 et β=f(−3)=9−18+1=−8\beta = f(-3) = 9 - 18 + 1 = -8⁠.

f(x)=(x+3)2−8.f(x) = (x + 3)^2 - 8.

Vérification : (x+3)2−8=x2+6x+9−8=x2+6x+1(x + 3)^2 - 8 = x^2 + 6x + 9 - 8 = x^2 + 6x + 1⁠.

2. Ici a=2a = 2 et b=−8b = -8⁠, donc α=−−82×2=2\alpha = -\dfrac{-8}{2 \times 2} = 2 et β=g(2)=8−16+5=−3\beta = g(2) = 8 - 16 + 5 = -3⁠.

g(x)=2(x−2)2−3.g(x) = 2(x - 2)^2 - 3.

Vérification : 2(x−2)2−3=2(x2−4x+4)−3=2x2−8x+52(x - 2)^2 - 3 = 2(x^2 - 4x + 4) - 3 = 2x^2 - 8x + 5⁠.

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Exercice 2 — Sommet et tableau de variations

Difficulté : Facile

On considère la fonction hh définie sur R\R par h(x)=−x2+4x−1h(x) = -x^2 + 4x - 1⁠.

  1. Calculer les coordonnées du sommet SS de la parabole représentant hh⁠.
  2. Dresser le tableau de variations de hh⁠.
  3. En déduire que, pour tout réel xx⁠, h(x)≤3h(x) \leq 3⁠.
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1. a=−1a = -1⁠, b=4b = 4⁠, donc α=−42×(−1)=2\alpha = -\dfrac{4}{2 \times (-1)} = 2 et β=h(2)=−4+8−1=3\beta = h(2) = -4 + 8 - 1 = 3⁠.

Le sommet est S(2 ; 3)S(2\,;\,3)⁠, et h(x)=−(x−2)2+3h(x) = -(x - 2)^2 + 3⁠.

2. Comme a=−1<0a = -1 < 0⁠, la parabole est tournée vers le bas :

x−∞2+∞3h↗↘\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & 2 & & +\infty \\ \hline & & & 3 & & \\ h & & \nearrow & & \searrow & \\ & & & & & \\ \hline \end{array}

3. D’après le tableau, hh admet un maximum égal à 33⁠, atteint en x=2x = 2⁠. Donc h(x)≤3h(x) \leq 3 pour tout réel xx⁠.

Autre justification : h(x)=3−(x−2)2h(x) = 3 - (x - 2)^2 et un carré est toujours positif, donc h(x)≤3h(x) \leq 3⁠.

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Discriminant et racines

Exercice 3 — Calculer le discriminant et résoudre

Difficulté : Facile

Résoudre dans R\R les équations suivantes.

  1. 3x2−5x−2=03x^2 - 5x - 2 = 0
  2. x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0
  3. −2x2+x−3=0-2x^2 + x - 3 = 0
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1. a=3a = 3⁠, b=−5b = -5⁠, c=−2c = -2⁠.

Δ=(−5)2−4×3×(−2)=25+24=49>0\Delta = (-5)^2 - 4 \times 3 \times (-2) = 25 + 24 = 49 > 0 et 49=7\sqrt{49} = 7⁠.

x1=5−76=−13etx2=5+76=2.x_1 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3} \qquad\text{et}\qquad x_2 = \frac{5 + 7}{6} = 2.

S={−13 ; 2}S = \left\{-\dfrac{1}{3}\,;\,2\right\}⁠.

2. a=1a = 1⁠, b=−6b = -6⁠, c=9c = 9⁠. Δ=36−36=0\Delta = 36 - 36 = 0 : une seule solution, x0=−−62×1=3x_0 = -\dfrac{-6}{2 \times 1} = 3⁠.

On pouvait aussi reconnaître l’identité remarquable x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2⁠. S={3}S = \{3\}⁠.

3. a=−2a = -2⁠, b=1b = 1⁠, c=−3c = -3⁠. Δ=1−4×(−2)×(−3)=1−24=−23<0\Delta = 1 - 4 \times (-2) \times (-3) = 1 - 24 = -23 < 0⁠.

L’équation n’a pas de solution réelle : S=∅S = \varnothing⁠.

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Exercice 4 — Une équation de degré 4 qui se ramène au second degré

Difficulté : Moyen

On veut résoudre dans R\R l’équation (E):x4−5x2+4=0(E) : x^4 - 5x^2 + 4 = 0⁠.

  1. En posant X=x2X = x^2⁠, montrer que (E)(E) s’écrit X2−5X+4=0X^2 - 5X + 4 = 0⁠.
  2. Résoudre cette équation d’inconnue XX⁠.
  3. En déduire les solutions de (E)(E)⁠.
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1. Comme x4=(x2)2=X2x^4 = (x^2)^2 = X^2⁠, l’équation devient X2−5X+4=0X^2 - 5X + 4 = 0⁠.

2. Δ=(−5)2−4×1×4=25−16=9>0\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 25 - 16 = 9 > 0 et 9=3\sqrt{9} = 3 :

X1=5−32=1etX2=5+32=4.X_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \qquad\text{et}\qquad X_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4.

3. On revient à xx :

  • x2=1  ⟺  x=−1x^2 = 1 \iff x = -1 ou x=1x = 1 ;
  • x2=4  ⟺  x=−2x^2 = 4 \iff x = -2 ou x=2x = 2⁠.

Donc S={−2 ; −1 ; 1 ; 2}S = \{-2\,;\,-1\,;\,1\,;\,2\}⁠.

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Factorisation

Exercice 5 — Factoriser un trinôme

Difficulté : Facile

Factoriser, lorsque c’est possible, les trinômes suivants.

  1. A(x)=2x2+2x−12A(x) = 2x^2 + 2x - 12
  2. B(x)=9x2−12x+4B(x) = 9x^2 - 12x + 4
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1. a=2a = 2⁠, b=2b = 2⁠, c=−12c = -12⁠. Δ=4−4×2×(−12)=4+96=100>0\Delta = 4 - 4 \times 2 \times (-12) = 4 + 96 = 100 > 0 et 100=10\sqrt{100} = 10⁠.

x1=−2−104=−3etx2=−2+104=2.x_1 = \frac{-2 - 10}{4} = -3 \qquad\text{et}\qquad x_2 = \frac{-2 + 10}{4} = 2.

Donc A(x)=2(x+3)(x−2)A(x) = 2(x + 3)(x - 2)⁠.

Vérification : 2(x+3)(x−2)=2(x2+x−6)=2x2+2x−122(x + 3)(x - 2) = 2(x^2 + x - 6) = 2x^2 + 2x - 12⁠.

2. a=9a = 9⁠, b=−12b = -12⁠, c=4c = 4⁠. Δ=144−144=0\Delta = 144 - 144 = 0 : une racine double x0=−−122×9=1218=23x_0 = -\dfrac{-12}{2 \times 9} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}⁠.

B(x)=9(x−23)2=(3x−2)2.B(x) = 9\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 = (3x - 2)^2.

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Signe d’un trinôme

Exercice 6 — Résoudre une inéquation du second degré

Difficulté : Moyen

Résoudre dans R\R les inéquations suivantes.

  1. −x2+x+6≥0-x^2 + x + 6 \geq 0
  2. 2x2−3x+5>02x^2 - 3x + 5 > 0
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1. a=−1a = -1⁠, b=1b = 1⁠, c=6c = 6⁠. Δ=1+24=25>0\Delta = 1 + 24 = 25 > 0 et 25=5\sqrt{25} = 5 :

x1=−1−5−2=3etx2=−1+5−2=−2.x_1 = \frac{-1 - 5}{-2} = 3 \qquad\text{et}\qquad x_2 = \frac{-1 + 5}{-2} = -2.

Comme a<0a < 0⁠, le trinôme est négatif à l’extérieur des racines et positif entre elles :

x−∞−23+∞−x2+x+6−0+0−\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -2 & & 3 & & +\infty \\ \hline -x^2 + x + 6 & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}

On cherche où il est positif ou nul : S=[−2 ; 3]S = \interff{-2}{3} (crochets fermés car l’inégalité est large).

2. Δ=9−40=−31<0\Delta = 9 - 40 = -31 < 0 : le trinôme n’a pas de racine et garde le signe de a=2>0a = 2 > 0⁠.

Il est donc strictement positif pour tout réel xx : S=RS = \R⁠.

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Somme et produit des racines

Exercice 7 — Racine évidente, somme et produit

Difficulté : Moyen
  1. Vérifier que 11 est solution de l’équation 5x2−3x−2=05x^2 - 3x - 2 = 0⁠, puis en déduire l’autre solution sans calculer le discriminant.
  2. Trouver deux nombres réels dont la somme vaut 77 et le produit vaut 1010⁠.
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1. 5×12−3×1−2=5−3−2=05 \times 1^2 - 3 \times 1 - 2 = 5 - 3 - 2 = 0 : 11 est bien solution.

Le produit des solutions vaut ca=−25\dfrac{c}{a} = -\dfrac{2}{5}⁠. Avec x1=1x_1 = 1⁠, on obtient x2=−25x_2 = -\dfrac{2}{5}⁠.

Vérification avec la somme : 1−25=351 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}⁠, et on a bien −ba=35-\dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{5}⁠.

2. Les deux nombres cherchés sont les solutions de x2−7x+10=0x^2 - 7x + 10 = 0⁠.

Δ=49−40=9\Delta = 49 - 40 = 9 et 9=3\sqrt{9} = 3⁠, d’où x1=7−32=2x_1 = \dfrac{7 - 3}{2} = 2 et x2=7+32=5x_2 = \dfrac{7 + 3}{2} = 5⁠.

Les deux nombres sont 22 et 55 : en effet 2+5=72 + 5 = 7 et 2×5=102 \times 5 = 10⁠.

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