Second degré — Fiche de révision

À savoir par cœur

Pour $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$  :

	$\Delta > 0$	$\Delta = 0$	$\Delta < 0$
Solutions de $f(x) = 0$	$x_{1{,}2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$	$x_0 = -\dfrac{b}{2a}$	aucune
Forme factorisée	$a(x - x_1)(x - x_2)$	$a(x - x_0)^2$	impossible
Signe de $f(x)$	signe de $a$ sauf entre $x_1$ et $x_2$	signe de $a$ ⁠, nul en $x_0$	signe de $a$
La parabole coupe l’axe des abscisses	en deux points	en un point (le sommet)	jamais

Signe d’un trinôme avec deux racines $x_1 < x_2$  :

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & x_1 & & x_2 & & +\infty \\ \hline f(x) & & \text{signe de } a & 0 & \text{signe de } -a & 0 & \text{signe de } a & \\ \hline \end{array}

Variations pour $a > 0$ (pour $a < 0$ ⁠, les flèches s’inversent et $\beta$ devient un maximum) :

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & \alpha & & +\infty \\ \hline & & & & & \\ f & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & \beta & & \\ \hline \end{array}

Méthode — Avant de calculer Δ

Méthode — Inéquation

Tout dans un membre, $\Delta$ ⁠, racines, tableau de signes, puis lecture des solutions avec les bons crochets.

Attention

Oublier le signe de $b$  : pour $x^2 - 4x + 1$ ⁠, on a $b = -4$ ⁠, donc $b^2 = 16$ (et non $-16$ ⁠).
Diviser par $2$ au lieu de $2a$ dans la formule des racines.
Écrire la forme factorisée sans le coefficient $a$  : $2x^2 - 2 = 2(x - 1)(x + 1)$ ⁠, pas $(x - 1)(x + 1)$ ⁠.
Inverser le sens d’une inéquation en lisant le tableau : «  $> 0$  » se lit sur les signes $+$ ⁠.
Pour un trinôme à paramètre $m$ ⁠, penser au cas où le coefficient de $x^2$ s’annule : l’équation n’est alors plus du second degré.