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Première · Maths · Chapitre 1

Second degré

Forme canonique, discriminant, racines, factorisation et signe d’un trinôme du second degré.

Comme en devoir surveillé. Des problèmes longs qui mobilisent tout le chapitre et des notions des chapitres précédents.

Chronomètre-toi avec la durée estimée et rédige entièrement avant de regarder la correction.

Exercice 1 — Une équation qui dépend d’un paramètre

Difficulté : Difficile Durée estimée : 40 min Chapitres mobilisés : Second degré + Signe d’un quotient (Seconde)

Pour tout réel mm⁠, on considère l’équation d’inconnue xx :

(Em):(m−1)x2−2mx+m+2=0.(E_m) : \quad (m - 1)x^2 - 2mx + m + 2 = 0.
  1. Résoudre l’équation (E1)(E_1)⁠, c’est-à-dire le cas m=1m = 1⁠.
  2. On suppose désormais m≠1m \neq 1⁠.
    1. Justifier que (Em)(E_m) est une équation du second degré et montrer que son discriminant vaut Δ=4(2−m)\Delta = 4(2 - m)⁠.
    2. Discuter, selon les valeurs de mm⁠, le nombre de solutions de (Em)(E_m)⁠.
  3. Déterminer la valeur de mm pour laquelle −1-1 est solution de (Em)(E_m)⁠, puis trouver l’autre solution sans calculer de discriminant.
  4. Déterminer les valeurs de mm pour lesquelles (Em)(E_m) admet deux solutions de signes contraires.
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1. Pour m=1m = 1 : 0×x2−2x+3=00 \times x^2 - 2x + 3 = 0⁠, soit −2x+3=0-2x + 3 = 0⁠, donc x=32x = \dfrac{3}{2}⁠. S={32}S = \left\{\dfrac{3}{2}\right\}⁠.

2.a. Si m≠1m \neq 1⁠, le coefficient a=m−1a = m - 1 est non nul : c’est une équation du second degré, avec b=−2mb = -2m et c=m+2c = m + 2⁠.

Δ=(−2m)2−4(m−1)(m+2)=4m2−4(m2+m−2)=−4m+8=4(2−m).\Delta = (-2m)^2 - 4(m - 1)(m + 2) = 4m^2 - 4(m^2 + m - 2) = -4m + 8 = 4(2 - m).

2.b. Le signe de Δ\Delta est celui de 2−m2 - m :

  • si m<2m < 2 (et m≠1m \neq 1⁠) : Δ>0\Delta > 0⁠, deux solutions distinctes ;
  • si m=2m = 2 : Δ=0\Delta = 0⁠, une seule solution x0=−b2a=2×22×1=2x_0 = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{2 \times 2}{2 \times 1} = 2 (on a bien x2−4x+4=(x−2)2x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2⁠) ;
  • si m>2m > 2 : Δ<0\Delta < 0⁠, aucune solution.

En tenant compte de la question 1 : une seule solution pour m=1m = 1 et pour m=2m = 2⁠.

3. −1-1 est solution si et seulement si (m−1)+2m+m+2=0(m - 1) + 2m + m + 2 = 0⁠, soit 4m+1=04m + 1 = 0⁠, donc m=−14m = -\dfrac{1}{4}⁠.

Dans ce cas, ca=m+2m−1=74−54=−75\dfrac{c}{a} = \dfrac{m + 2}{m - 1} = \dfrac{\frac{7}{4}}{-\frac{5}{4}} = -\dfrac{7}{5}⁠. Comme x1=−1x_1 = -1⁠, on obtient x2=75x_2 = \dfrac{7}{5}⁠.

Vérification avec la somme : −ba=2mm−1=−12−54=25-\dfrac{b}{a} = \dfrac{2m}{m - 1} = \dfrac{-\frac{1}{2}}{-\frac{5}{4}} = \dfrac{2}{5} et −1+75=25-1 + \dfrac{7}{5} = \dfrac{2}{5}⁠.

4. Deux solutions de signes contraires existent si et seulement si ca<0\dfrac{c}{a} < 0 (alors ac<0ac < 0⁠, donc Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0⁠). On étudie le signe de m+2m−1\dfrac{m + 2}{m - 1} :

m−∞−21+∞m+2−0+∣+m−1−∣−0+m+2m−1+0−∥+\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline m & -\infty & & -2 & & 1 & & +\infty \\ \hline m + 2 & & - & 0 & + & | & + & \\ m - 1 & & - & | & - & 0 & + & \\ \hline \dfrac{m + 2}{m - 1} & & + & 0 & - & \| & + & \\ \hline \end{array}

Les solutions sont de signes contraires si et seulement si m∈]−2 ; 1[m \in \interoo{-2}{1}⁠.

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Exercice 2 — Optimiser le bénéfice d’un artisan

Difficulté : Moyen Durée estimée : 30 min Chapitres mobilisés : Second degré + Fonctions (Seconde)

Un artisan fabrique et vend entre 00 et 6060 objets par semaine. Le coût de fabrication de xx objets, en euros, est

C(x)=x2+10x+500,x∈[0 ; 60].C(x) = x^2 + 10x + 500, \qquad x \in \interff{0}{60}.

Chaque objet est vendu 7070 euros et toute la production est vendue.

  1. Exprimer la recette R(x)R(x)⁠, puis montrer que le bénéfice vaut B(x)=−x2+60x−500B(x) = -x^2 + 60x - 500⁠.
  2. Écrire B(x)B(x) sous forme canonique.
  3. Combien d’objets l’artisan doit-il vendre pour que son bénéfice soit maximal ? Quel est ce bénéfice maximal ?
  4. Pour quelles quantités l’artisan ne travaille-t-il pas à perte ?
  5. L’artisan veut gagner au moins 300300 euros par semaine. Combien d’objets doit-il vendre ?
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1. R(x)=70xR(x) = 70x⁠, donc B(x)=R(x)−C(x)=70x−x2−10x−500=−x2+60x−500B(x) = R(x) - C(x) = 70x - x^2 - 10x - 500 = -x^2 + 60x - 500⁠.

2. α=−602×(−1)=30\alpha = -\dfrac{60}{2 \times (-1)} = 30 et β=B(30)=−900+1800−500=400\beta = B(30) = -900 + 1800 - 500 = 400⁠.

B(x)=−(x−30)2+400.B(x) = -(x - 30)^2 + 400.

3. Comme −(x−30)2≤0-(x - 30)^2 \leq 0⁠, on a B(x)≤400B(x) \leq 400⁠, avec égalité pour x=30x = 30⁠. Le bénéfice est maximal pour 30 objets et vaut 400 euros.

4. On résout −x2+60x−500≥0-x^2 + 60x - 500 \geq 0⁠. Δ=3600−2000=1600\Delta = 3600 - 2000 = 1600⁠, 1600=40\sqrt{1600} = 40 :

x1=−60−40−2=50etx2=−60+40−2=10.x_1 = \frac{-60 - 40}{-2} = 50 \qquad\text{et}\qquad x_2 = \frac{-60 + 40}{-2} = 10. x0105060B(x)−0+0−\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & 0 & & 10 & & 50 & & 60 \\ \hline B(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}

(a=−1<0a = -1 < 0 : le trinôme est positif entre ses racines.) L’artisan ne travaille pas à perte pour x∈[10 ; 50]x \in \interff{10}{50}⁠, c’est-à-dire entre 1010 et 5050 objets.

5. B(x)≥300  ⟺  −x2+60x−800≥0B(x) \geq 300 \iff -x^2 + 60x - 800 \geq 0⁠. Δ=3600−3200=400\Delta = 3600 - 3200 = 400⁠, 400=20\sqrt{400} = 20⁠, racines −60−20−2=40\dfrac{-60 - 20}{-2} = 40 et −60+20−2=20\dfrac{-60 + 20}{-2} = 20⁠.

Le trinôme est positif entre ses racines : il faut vendre entre 2020 et 4040 objets.

Variante rapide avec la forme canonique : 400−(x−30)2≥300  ⟺  (x−30)2≤100  ⟺  −10≤x−30≤10  ⟺  20≤x≤40400 - (x - 30)^2 \geq 300 \iff (x - 30)^2 \leq 100 \iff -10 \leq x - 30 \leq 10 \iff 20 \leq x \leq 40⁠.

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Exercice 3 — Démonstration et trinômes à paramètre

Difficulté : Très difficile Durée estimée : 50 min Chapitres mobilisés : Second degré + Calcul littéral (Seconde)

Partie A — Une démonstration du cours.

Soit aa⁠, bb⁠, cc trois réels avec a≠0a \neq 0⁠, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c et Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac⁠.

  1. Montrer que, pour tout réel xx : f(x)=a[(x+b2a)2−Δ4a2]f(x) = a\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\right]⁠.
  2. En déduire que, si Δ<0\Delta < 0⁠, alors f(x)f(x) est du signe de aa pour tout réel xx⁠.

Partie B — Un trinôme toujours positif.

Pour tout réel mm⁠, on pose fm(x)=mx2+(m+1)x+mf_m(x) = mx^2 + (m + 1)x + m⁠.

  1. Étudier le cas m=0m = 0⁠.
  2. On suppose m≠0m \neq 0⁠. Montrer que le discriminant de fmf_m vaut Δm=(1−m)(3m+1)\Delta_m = (1 - m)(3m + 1)⁠.
  3. Déterminer l’ensemble des réels mm pour lesquels fm(x)>0f_m(x) > 0 pour tout réel xx⁠.

Partie C — Somme des carrés des racines.

Pour tout réel mm⁠, on considère l’équation x2−(m+2)x+m=0x^2 - (m + 2)x + m = 0⁠.

  1. Montrer que cette équation admet toujours deux solutions distinctes x1x_1 et x2x_2⁠.
  2. Exprimer x12+x22x_1^2 + x_2^2 en fonction de mm⁠.
  3. Déterminer les valeurs de mm pour lesquelles x12+x22=10x_1^2 + x_2^2 = 10⁠.
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Partie A.

1. Comme a≠0a \neq 0 :

f(x)=a(x2+bax)+c=a[(x+b2a)2−b24a2]+c=a[(x+b2a)2−b2−4ac4a2].f(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}\right] + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right].

2. Si Δ<0\Delta < 0⁠, alors −Δ4a2>0-\dfrac{\Delta}{4a^2} > 0⁠. Un carré étant positif, le crochet est strictement positif pour tout xx⁠. Donc f(x)f(x)⁠, produit de aa par un nombre strictement positif, est du signe de aa⁠.

Partie B.

1. f0(x)=xf_0(x) = x⁠, qui est négatif pour x<0x < 0 : f0f_0 n’est pas positive sur R\R⁠.

2. Δm=(m+1)2−4m×m=(m+1)2−(2m)2=(m+1−2m)(m+1+2m)=(1−m)(3m+1)\Delta_m = (m + 1)^2 - 4m \times m = (m + 1)^2 - (2m)^2 = (m + 1 - 2m)(m + 1 + 2m) = (1 - m)(3m + 1)⁠.

3. Si Δm≥0\Delta_m \geq 0⁠, fmf_m s’annule : elle n’est pas strictement positive partout. Si Δm<0\Delta_m < 0⁠, fm(x)f_m(x) est du signe de mm (partie A). Il faut donc m>0m > 0 et Δm<0\Delta_m < 0⁠.

Δm=−3m2+2m+1\Delta_m = -3m^2 + 2m + 1 est un trinôme en mm de racines −13-\dfrac{1}{3} et 11⁠, de coefficient dominant −3<0-3 < 0 :

m−∞−131+∞Δm−0+0−\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline m & -\infty & & -\frac{1}{3} & & 1 & & +\infty \\ \hline \Delta_m & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}

Δm<0  ⟺  m<−13\Delta_m < 0 \iff m < -\dfrac{1}{3} ou m>1m > 1⁠. Avec m>0m > 0 : fm(x)>0f_m(x) > 0 pour tout xx si et seulement si m∈]1 ; +∞[m \in \interoo{1}{+\infty}⁠.

Partie C.

1. Δ=(m+2)2−4m=m2+4m+4−4m=m2+4>0\Delta = (m + 2)^2 - 4m = m^2 + 4m + 4 - 4m = m^2 + 4 > 0 pour tout mm : deux solutions distinctes.

2. x1+x2=m+2x_1 + x_2 = m + 2 et x1x2=mx_1 x_2 = m⁠, donc

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(m+2)2−2m=m2+2m+4.x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (m + 2)^2 - 2m = m^2 + 2m + 4.

3. m2+2m+4=10  ⟺  m2+2m−6=0m^2 + 2m + 4 = 10 \iff m^2 + 2m - 6 = 0⁠. Δ=4+24=28\Delta = 4 + 24 = 28 et 28=27\sqrt{28} = 2\sqrt{7} :

m=−2−272=−1−7oum=−1+7.m = \frac{-2 - 2\sqrt{7}}{2} = -1 - \sqrt{7} \qquad\text{ou}\qquad m = -1 + \sqrt{7}.

Ces deux valeurs conviennent, puisque l’équation a deux solutions pour tout mm⁠.

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